AIUTO: problema su rotazione dei solidi
salve potete risolvermi questo problema: in un deltoide le diagonali misurano rispettivamente 40 cm e 36 cm. sapendo che la diagonale maggiore divide la minore in due parti tali che una è i 5/7 dell' altra, calcola l' area della superficie e il volume del solido generato dalla rotazione di 180° del deltoide attorno alla diagonale minore. grazie in anticipo a chi risponderà
Risposte
Ciao,
il problema credo che con deltoide intenda aquilone. Se vuoi, per curiosità, prova a vedere su Wikipedia che cos'è un deltoide (curva) e che cosa un aquilone (quadrilatero).
Disegniamo il deltoide nel seguente modo, così mi puoi seguire con le lettere durante i calcoli:
- diagonale maggiore verticale,
- diagonale minore orizzontale (la parte a destra è i 5/7 della sinistra)
Per comodità con i calcoli nomino i lati anziché i vertici.
Partendo da in alto a destra, in senso orario nomino i lati: a, b, c, d
Partendo dall'alto, in senso orario, nomino i segmenti che congiungono ogni vertice con l'intersezione delle diagonali: e, f, g, h.
Ci ritroviamo con i seguenti dati (tutte le lunghezze sono intese in centimetri):
Sappiamo anche che:
Facendo ruotare l'aquilone attorno alla base minore otteniamo due coni:
uno di raggio e, altezza f e apotema a;
uno di raggio e, altezza h e apotema d.
Il solido ottenuto avrà come superficie la somma delle superfici laterali di ciascuno dei due coni e come volume la somma dei volumi.
Quindi:
Ora ti resta da fare qualche conticino.
Spero che ti sia stato d'aiuto. Se hai domande o qualcosa non ti torna, chiedi pure.
Ciao :)
il problema credo che con deltoide intenda aquilone. Se vuoi, per curiosità, prova a vedere su Wikipedia che cos'è un deltoide (curva) e che cosa un aquilone (quadrilatero).
Disegniamo il deltoide nel seguente modo, così mi puoi seguire con le lettere durante i calcoli:
- diagonale maggiore verticale,
- diagonale minore orizzontale (la parte a destra è i 5/7 della sinistra)
Per comodità con i calcoli nomino i lati anziché i vertici.
Partendo da in alto a destra, in senso orario nomino i lati: a, b, c, d
Partendo dall'alto, in senso orario, nomino i segmenti che congiungono ogni vertice con l'intersezione delle diagonali: e, f, g, h.
Ci ritroviamo con i seguenti dati (tutte le lunghezze sono intese in centimetri):
[math]
e + g = 40 \\
f + h = 36 \\
f = \frac{5}{7}h \\
[/math]
e + g = 40 \\
f + h = 36 \\
f = \frac{5}{7}h \\
[/math]
Sappiamo anche che:
[math]
e = g = 20 \\
\frac{5}{7}h + h = 36 \\
\frac{12}{7} h = 36 \\
h = 21 \\
f = 36 - h = 36 - 21 = 15 \\
a = b = \sqrt{e^2 + f^2} \\
a = b = \sqrt{20^2 + 15^2} \\
a = b = \sqrt{5^2(4^2+3^2)} \\
a = b = \sqrt{5^2 \cdot 5^2} \\
a = b = 25 \\
c = d = \sqrt{e^2 + h^2} \\
c = d = \sqrt{20^2 + 21^2} = 29 \\
[/math]
e = g = 20 \\
\frac{5}{7}h + h = 36 \\
\frac{12}{7} h = 36 \\
h = 21 \\
f = 36 - h = 36 - 21 = 15 \\
a = b = \sqrt{e^2 + f^2} \\
a = b = \sqrt{20^2 + 15^2} \\
a = b = \sqrt{5^2(4^2+3^2)} \\
a = b = \sqrt{5^2 \cdot 5^2} \\
a = b = 25 \\
c = d = \sqrt{e^2 + h^2} \\
c = d = \sqrt{20^2 + 21^2} = 29 \\
[/math]
Facendo ruotare l'aquilone attorno alla base minore otteniamo due coni:
uno di raggio e, altezza f e apotema a;
uno di raggio e, altezza h e apotema d.
Il solido ottenuto avrà come superficie la somma delle superfici laterali di ciascuno dei due coni e come volume la somma dei volumi.
Quindi:
[math]
S = \pi \cdot e \cdot a + \pi \cdot e \cdot d = \pi \cdot e(a+d) \\
V = \frac{1}{3} \pi \cdot e^2 \cdot f + \frac{1}{3} \pi \cdot e^2 \cdot h \\
V = \frac{1}{3} \pi \cdot e^2 (f + h) \\
[/math]
S = \pi \cdot e \cdot a + \pi \cdot e \cdot d = \pi \cdot e(a+d) \\
V = \frac{1}{3} \pi \cdot e^2 \cdot f + \frac{1}{3} \pi \cdot e^2 \cdot h \\
V = \frac{1}{3} \pi \cdot e^2 (f + h) \\
[/math]
Ora ti resta da fare qualche conticino.
Spero che ti sia stato d'aiuto. Se hai domande o qualcosa non ti torna, chiedi pure.
Ciao :)
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