Aiuto per comprensione di esercizio

[pig-org]

Ciao a tutti.

ho un problema con la soluzione di un esercizio. più che altro ho bisogno di capire il meccanismo.

In un trapezio rettangolo la base maggiore è 7/5 della minore e la somma del doppio della base minore con la metà della base maggiore è 54cm

Sapendo che l'altezza misura 6 cm, calcola il volume del solido ottenuto dalla rotazione del trapezio attorno alla base maggiore

Soluzione 816 π cm3

Grazie per l'aiuto
Andrea

[Fabrizio Del Dongo]

SOLUZIONE
Intanto lavoriamo sul trapezio rettangolo che chiamiamo ABCD e in cui
AB = base minore
CD = base maggiore
BC = lato obliquo
AD = BH = altezza
DATI DEL PROBLEMA
AD = 6 cm
DC = 7/5 AB
2.AB + 1/2DC = 54 cm
SVOLGIMENTO
A questo punto, per calcolare la misura delle due basi del trapezio si può ricorrere al metodo grafico o ad una equazione.
Metodo grafico
Sappiamo che DC = 7/5AB Questo significa che
DC = 7 unita' di misura (-------)
AB = 5 unita' di misura (-----)
Sappiamo anche che
2.AB + 1/2DC = 54 cm per cui sostituendo, avremo
2.5 unita' di misura + 1/2 di 7 unita' di misura = 54
10 + 1/2.7 = 54 cm
20 + 7 = 108 cm
27 unita' di misura = 108 cm
Valore di 1 unita' di misura = 108/27 = 4 cm
DC = 7 unita' di misura = 7.4 = 28 cm
AB = 5 unita' di misura = 5.4 = 20 cm

Soluzione ricorrendo ad una equazione
DC = 7/5 AB
2.AB + 1/2DC = 54
Indico AB con x, per cui DC = 7/5x
Sostituendo, ottengo
2x + 1/2.7/5x = 54
2x + 7/10x = 54
Riduco allo stesso denominatore:
20x + 7x = 540
27x = 540
x = 540/27 = 20 cm (misura di AB)
DC = 7/5AB = 7/5.20 = 28 cm

Facendo ruotare il trapezio rettangolo intorno alla base maggiore si ottiene un cilindro sormontato da un cono.
Nel cilindro, abbiamo:
AD/BH = raggio base
AB = altezza
Nel cono, abbiamo:
AD/BH = raggio base (infatti la base del cilindro e quella del cono sono coincidenti)
HC(proiezione del lato obliquo del trapezio sulla base maggiore) = altezza del cono = DC - AB = 28 - 20 = 8 cm

Il volume del solido e' dato dalla somma del volume del cilindro + volume cono
Volume cilindro = Area base . altezza
Volume cono = Area base . altezza/3
Volume solido = Volume cilindro + Volume cono = (6^2.pi greco. 20) + (6^2- pi greco.8/3)= 720 pi greco + 96 pi greco = 816 pi greco cm3