Aiuto è urgente (309426)

[stilosamarty]

ciao, ho risolto diverse volte questo problema ma non mi viene, ecco la traccia: in un trapezio isoscele: le diagonali sono perpendicolari al lato obliquo;
la base maggiore misura 200cm; la differenza fra le basi e' 144 cm.
Calcola la lunghezza del perimetro e l'area del trapezio. grazie.

[giacomoprovinciali]

Io lo risolverei con un sistema di equazioni, avete fatto i sistemi?

[Fabrizio Del Dongo]

Devi utilizzare uno dei due teoremi di Euclide.
Prima, pero', devi calcolare
1) la misura della proiezione di un lato obliquo sulla base maggiore
2) la misura della base minore del trapezio

Aggiunto 12 ore 51 minuti più tardi:

Conosci il risultato?

[stilosamarty]

ok. Ho fatto diverse volte questo problema ma non mi porta, non c'è manco il risultato ma grazie comunque.

[Fabrizio Del Dongo]

Hai studiato i teoremi di Euclide?

[mappazzone]

Inizia disegnando un bel trapezio isoscele ABCD e indica con H, K rispettivamente i piedi delle altezze DH e CK. Poi, sapendo che la base maggiore misura 200 cm e la differenza tra la base maggiore e la base minore misura 144 cm è presto stabilito che:

AB = 200 cm;
AH = KB = 72 cm;
HK = CD = 56 cm.

Quindi, applicando i due teoremi di Euclide al triangolo rettangolo ABD:
- grazie al primo: AD = BC = √(AB ⋅ AH) = 120 cm;
- grazie al secondo: DH = CK = √(AH ⋅ HB) = 96 cm.

Infine, non rimane che calcolare perimetro ed area di ABCD:
- perimetro = AB + BC + CD + AD = 496 cm;
- area = (AB + CD) ⋅ DH / 2 = 12288 cm².

Ciao!

[stilosamarty]

Grazie, a tutti

[Fabrizio Del Dongo]

Soluzione
Disegno il trapezio isoscele ABCD, in cui
AB = base minore
BC e AD = lato obliquo
DC = base maggiore
BH e AH = altezza del trapezio
HC e DH = proiezione del lato obliquo sulla base maggiore
Dati
DC = 200 cm
DC - AB = 144 cm
Il triangolo DBC è retto in B
Svolgimento
Innanzitutto calcolo la misura di HC (e di DH):
144/2 = 72 cm
Ora, calcolo la misura della base minore:
AB = DC - 2HC = 200 - 2.72 = 200 - 144 = 56 cm
Ora, calcolo la proiezione del cateto maggiore del triangolo DBC sull'ipotenusa, ossia di DH:
DH = AB + DH = 56 + 72 = 128 cm
A questo punto, applico il secondo teorema di Euclide, secondo cui
in un triangolo rettangolo l'altezza relativa all'ipotenusa (BH) è medio proporzionale fra le proiezioni dei due cateti sull'ipotenusa ( ossia DH e HC. La proporzione che ne deriva è la seguente:
DH : BH = BH : HC
128 : BH = BH : 72
Poiiché, in una proporzione, il prodotto dei medi è sempre uguale al prodotto degli estremi, BH.BH = DH.HC
Sostituendo, ottengo:
BH al quadrato = 9216 cm2
Per ottenere la misura di BH, estraggo la radice quadrata da cm2 9216 e ottengo cm 96
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A questo punto, del trapezio conosci tutte le misure (base minore, base maggiore, lato obliquo e altezza per cui, con facilità puoi calcolare il perimetro e l'area. SE hai qualche dubbio, chiedi pure!