Aiutate i con questo problema
Non mi esce questo problema:i segmenti di tangenza PA e PB,condotti da P alla circonferenza di centro O è raggio lungo 30 cm,formano tra loro un angolo ampio 60º.Calcola perimetro e area del quadrilatero OPBA e la lunghezza delle due diagonali OP e AB vi prego aiutatemi...
Risposte
Il quadrilatero OBPA (penso che tu volessi intenderlo scritto così) ha:
due angoli di 90° (punti di tangenza in A e B)
un angolo di 60° in P
Sapendo che la somma degli angoli interni di un quadrilatero è pari a 360°, l'angolo in O sarà pari a:
Angolo in O = 360° - (90°*2 + 60°) = 120°
Congiungendo A con B, otteniamo il triangolo AOB che è isoscele in quanto AO = OB = raggio di circonferenza.
Essendo isoscele gli angoli OAB e OBA saranno uguali, ed essendo la somma degli angoli interni di un triangolo pari a 180°, saranno:
Angolo OAB = OBA = (180 - Angolo in O)/2 = (180 - 12)/2 = 30°
Sappiamo che l'altezza, rispetto alla base, in un triangolo isoscele, è anche bisettrice dell'angolo al vertice (in questo caso l'angolo O), per cui, chiamato H il piedi dell'altezza sulla base, otteniamo che i due triangoli rettangoli OAH e OBH, oltre ad essere congruenti, sono particolari in quanto hanno gli angoli pari a 30°, 60° e 90°, per cui possiamo ricavare immediatamente il valore di AH = BH:
Di conseguenza AB (la diagonale minore del quadrilatero) misurerà:
AB = AH + AB = 25,98*2 = 51,96 cm circa
Se l'angolo OAH è, come abbiamo visto pari a 30° e se l'angolo OAP è pari a 90°, allora l'angolo HAP sarà pari a 90 - 30 = 60°
Ma se l'angolo in P è di 60°, e l'angolo HAP è, anch'esso di 60°, allora, considerando il triangolo PAB, anche l'angolo HBP dovrà essere di 60° (ti ricordo la somma degli angoli interni di un triangolo è pari a 180°).
Ma un triangolo con tutti gli angoli di 60° è un triangolo equilatero, ciò porta dire che:
AB = AP = BP = 51,69 cm circa
Quindi, il perimetro del nostro quadrilatero OBPA sarà apri a:
P = OA + OB + PB + PA = 30 + 30 + 51,96 + 51,96 = 163,92 cm circa
Per calcolare l'area e la misura della diagonale maggiore adesso il passo è breve:
I due triangoli rettangoli OAP e OBP (rettangoli rispettivamente in A e B) sono congruenti in quanto hanno due lati congruenti (OA e OB e PA e PB) e l'angolo tra essi compreso (l'angolo in A e in B), quindi ci basterà calcolare l'area di uno per ottenere poi l'area del quadrilatero:
La diagonale maggiore, non è altro che l'ipotenusa del triangolo rettangolo OAP (oppure OBP), per cui
... ecco a te, spero di essere stato sufficientemente chiaro.
:hi
Massimiliano
due angoli di 90° (punti di tangenza in A e B)
un angolo di 60° in P
Sapendo che la somma degli angoli interni di un quadrilatero è pari a 360°, l'angolo in O sarà pari a:
Angolo in O = 360° - (90°*2 + 60°) = 120°
Congiungendo A con B, otteniamo il triangolo AOB che è isoscele in quanto AO = OB = raggio di circonferenza.
Essendo isoscele gli angoli OAB e OBA saranno uguali, ed essendo la somma degli angoli interni di un triangolo pari a 180°, saranno:
Angolo OAB = OBA = (180 - Angolo in O)/2 = (180 - 12)/2 = 30°
Sappiamo che l'altezza, rispetto alla base, in un triangolo isoscele, è anche bisettrice dell'angolo al vertice (in questo caso l'angolo O), per cui, chiamato H il piedi dell'altezza sulla base, otteniamo che i due triangoli rettangoli OAH e OBH, oltre ad essere congruenti, sono particolari in quanto hanno gli angoli pari a 30°, 60° e 90°, per cui possiamo ricavare immediatamente il valore di AH = BH:
[math] AH = BH = AO \frac {\sqrt {3}}{2} = 30 \frac {\sqrt {3}}{2} = 25,98\;cm\;circa [/math]
Di conseguenza AB (la diagonale minore del quadrilatero) misurerà:
AB = AH + AB = 25,98*2 = 51,96 cm circa
Se l'angolo OAH è, come abbiamo visto pari a 30° e se l'angolo OAP è pari a 90°, allora l'angolo HAP sarà pari a 90 - 30 = 60°
Ma se l'angolo in P è di 60°, e l'angolo HAP è, anch'esso di 60°, allora, considerando il triangolo PAB, anche l'angolo HBP dovrà essere di 60° (ti ricordo la somma degli angoli interni di un triangolo è pari a 180°).
Ma un triangolo con tutti gli angoli di 60° è un triangolo equilatero, ciò porta dire che:
AB = AP = BP = 51,69 cm circa
Quindi, il perimetro del nostro quadrilatero OBPA sarà apri a:
P = OA + OB + PB + PA = 30 + 30 + 51,96 + 51,96 = 163,92 cm circa
Per calcolare l'area e la misura della diagonale maggiore adesso il passo è breve:
I due triangoli rettangoli OAP e OBP (rettangoli rispettivamente in A e B) sono congruenti in quanto hanno due lati congruenti (OA e OB e PA e PB) e l'angolo tra essi compreso (l'angolo in A e in B), quindi ci basterà calcolare l'area di uno per ottenere poi l'area del quadrilatero:
[math] A = \left ( \frac {OA\;.\;AP}{2} \right)\;.\;2 = AO \;.\;AP = 30\;.\;51,96 = 1558,8\;cm^2\;circa [/math]
La diagonale maggiore, non è altro che l'ipotenusa del triangolo rettangolo OAP (oppure OBP), per cui
[math] OP = \sqrt {OA^2 + AP^2} = \sqrt {30^2 + 51,96^2} = 60 \;cm\; circa [/math]
... ecco a te, spero di essere stato sufficientemente chiaro.
:hi
Massimiliano
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