3 problemi sulla piramide!Vi prego,entrate!Miglior risposta a chi mi aiuta C:
Sono 3 problemi,mi aiutate almeno con uno,non ci riesco >.<
1)Una piramide retta alta 36 cm ha per base un rombo,le cui diagonali misurano 54 cm e 30 cm.Calcola gli spigoli laterali e l'area totale. Ris (39;45;3176,79)
2)In una piramide quadrangolare regolare lo spigolo di base rappresenta i 16/17 dello spigolo laterale e la somma di tutti gli spigolidella piramide è 792 cm.Calcola l'area totale della piramide. Ris (26496 cm quadri)
3)Due piramidi che hanno altezza congruente sono una quadrangolare regolare e l'altra triangolare regolare.Calcola la differenza fra le misure dell'area totale sapendo che la prima piramide ha lo spigolo di base di 96 cm e l'apotema di 80;la seconda piramide ha lo spigolo di base che è i 5/8 dell'altezza. Ris (19980,80 cm quadri)
Vi prego,aiutatemi almeno con uno,sono mancata da scuola e non so fare i problemi con la piramide...aiutooo!
Grazie mille a chi mi aiuterà C:
1)Una piramide retta alta 36 cm ha per base un rombo,le cui diagonali misurano 54 cm e 30 cm.Calcola gli spigoli laterali e l'area totale. Ris (39;45;3176,79)
2)In una piramide quadrangolare regolare lo spigolo di base rappresenta i 16/17 dello spigolo laterale e la somma di tutti gli spigolidella piramide è 792 cm.Calcola l'area totale della piramide. Ris (26496 cm quadri)
3)Due piramidi che hanno altezza congruente sono una quadrangolare regolare e l'altra triangolare regolare.Calcola la differenza fra le misure dell'area totale sapendo che la prima piramide ha lo spigolo di base di 96 cm e l'apotema di 80;la seconda piramide ha lo spigolo di base che è i 5/8 dell'altezza. Ris (19980,80 cm quadri)
Vi prego,aiutatemi almeno con uno,sono mancata da scuola e non so fare i problemi con la piramide...aiutooo!
Grazie mille a chi mi aiuterà C:
Risposte
Ciao, Una direzione, ecco a te:
1)Una piramide retta alta 36 cm ha per base un rombo,le cui diagonali misurano 54 cm e 30 cm.Calcola gli spigoli laterali e l'area totale. Ris (39;45;3176,79)
Gli spigoli laterali della suddetta piramide sono quattro (perchè quattro sono i vertici del rombo di base): due di essi sono le ipotenuse di due triangoli rettangoli che hanno per cateti l'altezza della pirmaide e la metà della diagonale maggiore (54:2 = 27 cm), e due di essi sono le ipotenuse di due triangoli rettangoli che hanno per cateti l'altezza della piramide e la metà della diagonale minore (30:2 = 15 cm).
E' possibile dunque calcolare gli spigoli della pirmaide applicando il teorema di Pitagora:
s1 = radice di (27^2 + 36^2) = radice di (729 + 1296) = radice di (2025) = 45 cm
s2 = radice di (15^2 + 36^2) = radice di (225 + 1296) = radice di (1521) = 39 cm
Nella piramide:
A(tot) = A(base) + A(lat)
A(base) = area rombo = D1 x D2/2 = 54 x 30/2 = 810 cm^2
A(lat) = perimetro di base x apotema/2.
Per determinare il perimetro di base è necessario conoscere la lunghezza del lato del rombo. Le diagonali del rombo lo dividiono in quattro triangoli rettangoli che hanno come cateti le metà delle due diagonali (e quindi 27 e 15 cm)e per ipotenusa il lato del rombo.
E' possibile dunque calcolare i lati del rombo applicando anocra una volta il teorema di Pitagora:
lato = radice di (27^2 + 15^2) = radice di (729 + 225) = radice di (954) = 30,88 cm (circa)
P = 4 x lato = 4 x 30,88 = 123,54 cm
L'apotema della piramide è invece l'ipotenusa di un triangolo rettangolo che ha per cateti l'altezza della piramide e l'apotema di base.
Noti l'altezza e l'apotema di base è duqnue sufficiente applicare il teorema di pitagora per determinare l'apotema della piramide.
Ci manca però da determinare l'apotema di base. Si sa però che, per ogni poligono vale che:
Area = perimetro x apotema di base/2
Quindi: apotema di base = area x 2/perimetro
Nel nostro caso: apotema base = 810 x 2/123,54 = 13,11 cm
apotema = radice di (h^2 + apotema base^2)= radice di (36^2 + 13,11^2) = radice di (1296 + 171,87) = radice di (1467,87) = 38,31 cm (circa)
A(lat) = perimetro di base x apotema/2 = 123,54 x 38,31/2 = 2366,58.
A(tot) = A(base) + A(lat) = 810 + 2366,58 = 3176,58 cm^2
2)In una piramide quadrangolare regolare lo spigolo di base rappresenta i 16/17 dello spigolo laterale e la somma di tutti gli spigolidella piramide è 792 cm.Calcola l'area totale della piramide. Ris (26496 cm quadri)
La piramide ha in tutto 8 spigoli: 4 di base e 4 laterali.
4 x s(b) + 4 x s(l) = 792 cm
s(b) + s(l) = 792/4 = 198 cm
Si sa che s(b) = 16/17 s(l). Sostituisco dunque nella precedente espressione questo valore di s(b):
s(b) + s(l) = 198 cm
16/17 s(b) + s(l) = 198 cm
16/17 s(b) + 17/17 s(l) = 198 cm
33/17 s(b) = 198 cm
s(l) = 198 x 17/33 = 102 cm
Ricordando che:
s(b) = 16/17 s(l) = 16/17 x 102 = 96 cm
s(B) è il lato del quadrato di base. Calcoliamone subito perimetro, area e diagonale (con Pitagora):
Perimetro = 4 x lato = 4 x 96 = 384 cm
Area = Lato^2 = 96^2 = 9216 cm^2
D^2 = 2 x lato^2 = 2 x 9216 = 18432 cm^2
Lo spigolo laterale della piramide è l'ipotenusa di un triangolo rettangolo che ha per cateti l'altezza e metà della diagonale di base. Posso ricavare l'altezza della piramide grazie al teorema di Pitagora:
h^2 = s(l)^2 - (D/2)^2 = s(l)^2 - D^2/4 = 102^2 - 18432/4 = 10404 -4608 = 5796 cm^2
Calcoliamo a questo punto l'apotema della piramide.
L'apotema della piramide è l'ipotenusa di un triangolo rettangolo che ha per cateti l'altezza della piramide e l'apotema di base.
Noti l'altezza e l'apotema di base è dunque sufficiente applicare il teorema di pitagora per determinare l'apotema della piramide.
Nel quadrato: apotema di base = lato/2 = 96/2 = 48 cm
apotema = radice di (h^2 + apotema base^2)= radice di (4608 + 48^2) = radice di (5796 + 2304) = radice di (8100) = 90 cm
A(tot) = A(base) + A(lat) = 9216 + perimetro x apotema/2 = 9216 + 384x90/2 = 9216 + 17280 = 26496 cm^2
3)Due piramidi che hanno altezza congruente sono una quadrangolare regolare e l'altra triangolare regolare.Calcola la differenza fra le misure dell'area totale sapendo che la prima piramide ha lo spigolo di base di 96 cm e l'apotema di 80;la seconda piramide ha lo spigolo di base che è i 5/8 dell'altezza. Ris (19980,80 cm quadri)
A(tot) 1 = A(base) 1 + A(lat) 1
A(base) 1 = l1^2 = 96^2 = 9216 cm^2
P(base) 1 = 4 x lato = 4 x 96 = 384 cm
apotema base(1) = lato/2 = 96/2 = 48 cm
A(tot) 1 = A(base) 1 + A(lat) 1 = 9216 + perimetro x apotema/2 = 9216 - 384 x 80/2 = 9216 + 15360 = 24576 cm^2
Possiamo calcolare anche l'altezza di questa piramide, uguale all'altezza della seconda:
h^2 = radice di (a^2 -abase^2) = radice di (80^2 - 48^2) = radice di (6400 - 2304) = radice di (4096) = 64 cm
Lo spigolo di base della seconda piramide è 5/5ì8 di questo valore:
l2 = 5/8 x 64 = 40 cm
P2 = 3 x l2 = 3 x 40 = 120 cm
Apotema base = 0,288 x l2 = 0,288 x 40 = 11,52 cm
Calcoliamo l'area del poligono e l'apotema della piramide:
Area = perimetro x ap (base) /2 = 120 x 11,52/2 = 691,2 cm^2
apotema = radice di (h^2 + apbase^2) = radice di (64^2 + 11,52^2) = radice di (4096 + 132,7104) = radice di 4228,7104 = 65,02 cm (circa)
A(tot) 2 = A(base) 2 + A(lat) 2 = 691,2 + perimetro x apotema/2 = 691,2 -120 x 65/2 = 691,2 + 3900 = 4591,2 cm^2
A(tot) 1 - A(tot) 2 = 24576 - 4591,2 = 19984,8 cm^2.
Il risultato leggermente differente da quello riportato sul libro è semplicemebte dovuto alle approssimazioni fatte.
Fine. Ciao!!!
1)Una piramide retta alta 36 cm ha per base un rombo,le cui diagonali misurano 54 cm e 30 cm.Calcola gli spigoli laterali e l'area totale. Ris (39;45;3176,79)
Gli spigoli laterali della suddetta piramide sono quattro (perchè quattro sono i vertici del rombo di base): due di essi sono le ipotenuse di due triangoli rettangoli che hanno per cateti l'altezza della pirmaide e la metà della diagonale maggiore (54:2 = 27 cm), e due di essi sono le ipotenuse di due triangoli rettangoli che hanno per cateti l'altezza della piramide e la metà della diagonale minore (30:2 = 15 cm).
E' possibile dunque calcolare gli spigoli della pirmaide applicando il teorema di Pitagora:
s1 = radice di (27^2 + 36^2) = radice di (729 + 1296) = radice di (2025) = 45 cm
s2 = radice di (15^2 + 36^2) = radice di (225 + 1296) = radice di (1521) = 39 cm
Nella piramide:
A(tot) = A(base) + A(lat)
A(base) = area rombo = D1 x D2/2 = 54 x 30/2 = 810 cm^2
A(lat) = perimetro di base x apotema/2.
Per determinare il perimetro di base è necessario conoscere la lunghezza del lato del rombo. Le diagonali del rombo lo dividiono in quattro triangoli rettangoli che hanno come cateti le metà delle due diagonali (e quindi 27 e 15 cm)e per ipotenusa il lato del rombo.
E' possibile dunque calcolare i lati del rombo applicando anocra una volta il teorema di Pitagora:
lato = radice di (27^2 + 15^2) = radice di (729 + 225) = radice di (954) = 30,88 cm (circa)
P = 4 x lato = 4 x 30,88 = 123,54 cm
L'apotema della piramide è invece l'ipotenusa di un triangolo rettangolo che ha per cateti l'altezza della piramide e l'apotema di base.
Noti l'altezza e l'apotema di base è duqnue sufficiente applicare il teorema di pitagora per determinare l'apotema della piramide.
Ci manca però da determinare l'apotema di base. Si sa però che, per ogni poligono vale che:
Area = perimetro x apotema di base/2
Quindi: apotema di base = area x 2/perimetro
Nel nostro caso: apotema base = 810 x 2/123,54 = 13,11 cm
apotema = radice di (h^2 + apotema base^2)= radice di (36^2 + 13,11^2) = radice di (1296 + 171,87) = radice di (1467,87) = 38,31 cm (circa)
A(lat) = perimetro di base x apotema/2 = 123,54 x 38,31/2 = 2366,58.
A(tot) = A(base) + A(lat) = 810 + 2366,58 = 3176,58 cm^2
2)In una piramide quadrangolare regolare lo spigolo di base rappresenta i 16/17 dello spigolo laterale e la somma di tutti gli spigolidella piramide è 792 cm.Calcola l'area totale della piramide. Ris (26496 cm quadri)
La piramide ha in tutto 8 spigoli: 4 di base e 4 laterali.
4 x s(b) + 4 x s(l) = 792 cm
s(b) + s(l) = 792/4 = 198 cm
Si sa che s(b) = 16/17 s(l). Sostituisco dunque nella precedente espressione questo valore di s(b):
s(b) + s(l) = 198 cm
16/17 s(b) + s(l) = 198 cm
16/17 s(b) + 17/17 s(l) = 198 cm
33/17 s(b) = 198 cm
s(l) = 198 x 17/33 = 102 cm
Ricordando che:
s(b) = 16/17 s(l) = 16/17 x 102 = 96 cm
s(B) è il lato del quadrato di base. Calcoliamone subito perimetro, area e diagonale (con Pitagora):
Perimetro = 4 x lato = 4 x 96 = 384 cm
Area = Lato^2 = 96^2 = 9216 cm^2
D^2 = 2 x lato^2 = 2 x 9216 = 18432 cm^2
Lo spigolo laterale della piramide è l'ipotenusa di un triangolo rettangolo che ha per cateti l'altezza e metà della diagonale di base. Posso ricavare l'altezza della piramide grazie al teorema di Pitagora:
h^2 = s(l)^2 - (D/2)^2 = s(l)^2 - D^2/4 = 102^2 - 18432/4 = 10404 -4608 = 5796 cm^2
Calcoliamo a questo punto l'apotema della piramide.
L'apotema della piramide è l'ipotenusa di un triangolo rettangolo che ha per cateti l'altezza della piramide e l'apotema di base.
Noti l'altezza e l'apotema di base è dunque sufficiente applicare il teorema di pitagora per determinare l'apotema della piramide.
Nel quadrato: apotema di base = lato/2 = 96/2 = 48 cm
apotema = radice di (h^2 + apotema base^2)= radice di (4608 + 48^2) = radice di (5796 + 2304) = radice di (8100) = 90 cm
A(tot) = A(base) + A(lat) = 9216 + perimetro x apotema/2 = 9216 + 384x90/2 = 9216 + 17280 = 26496 cm^2
3)Due piramidi che hanno altezza congruente sono una quadrangolare regolare e l'altra triangolare regolare.Calcola la differenza fra le misure dell'area totale sapendo che la prima piramide ha lo spigolo di base di 96 cm e l'apotema di 80;la seconda piramide ha lo spigolo di base che è i 5/8 dell'altezza. Ris (19980,80 cm quadri)
A(tot) 1 = A(base) 1 + A(lat) 1
A(base) 1 = l1^2 = 96^2 = 9216 cm^2
P(base) 1 = 4 x lato = 4 x 96 = 384 cm
apotema base(1) = lato/2 = 96/2 = 48 cm
A(tot) 1 = A(base) 1 + A(lat) 1 = 9216 + perimetro x apotema/2 = 9216 - 384 x 80/2 = 9216 + 15360 = 24576 cm^2
Possiamo calcolare anche l'altezza di questa piramide, uguale all'altezza della seconda:
h^2 = radice di (a^2 -abase^2) = radice di (80^2 - 48^2) = radice di (6400 - 2304) = radice di (4096) = 64 cm
Lo spigolo di base della seconda piramide è 5/5ì8 di questo valore:
l2 = 5/8 x 64 = 40 cm
P2 = 3 x l2 = 3 x 40 = 120 cm
Apotema base = 0,288 x l2 = 0,288 x 40 = 11,52 cm
Calcoliamo l'area del poligono e l'apotema della piramide:
Area = perimetro x ap (base) /2 = 120 x 11,52/2 = 691,2 cm^2
apotema = radice di (h^2 + apbase^2) = radice di (64^2 + 11,52^2) = radice di (4096 + 132,7104) = radice di 4228,7104 = 65,02 cm (circa)
A(tot) 2 = A(base) 2 + A(lat) 2 = 691,2 + perimetro x apotema/2 = 691,2 -120 x 65/2 = 691,2 + 3900 = 4591,2 cm^2
A(tot) 1 - A(tot) 2 = 24576 - 4591,2 = 19984,8 cm^2.
Il risultato leggermente differente da quello riportato sul libro è semplicemebte dovuto alle approssimazioni fatte.
Fine. Ciao!!!
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