3 Problemi di geometria per domani !!! Piramide
1)Una piramide quadrangolare ha l'area della superfice totale di 896 cm quadrati e il perimetro di base di 56 cm. Calcola l'area della superfice totale di un parallelepipedo rettangolare equivalente alla piramide alla piramide e avente le dimensioni della base lunghe rispettivamente 7 cm e 14 cm.
2)Una piramide retta ha per base un triangolo rettangolo avente un cateto e l'ipotenusa lunghi rispettivamente 6 cm e 10 cm. Sapendo che l'altezza della piramide è lunga 18 cm, calcola l'area della superfice totale e il volume della piramide.
3)Una piramide retta ha per base un triangolo isoscele in cui il lato è 5/6 della base e il perimetro è 160 cm. Sapendo che l'altezza della piramide è lunga 24 cm, calcola il volume della piramide ...
2)Una piramide retta ha per base un triangolo rettangolo avente un cateto e l'ipotenusa lunghi rispettivamente 6 cm e 10 cm. Sapendo che l'altezza della piramide è lunga 18 cm, calcola l'area della superfice totale e il volume della piramide.
3)Una piramide retta ha per base un triangolo isoscele in cui il lato è 5/6 della base e il perimetro è 160 cm. Sapendo che l'altezza della piramide è lunga 24 cm, calcola il volume della piramide ...
Risposte
Ciao! Ecco la soluzione dei tre problemi:
1)Due solidi sono equivalenti se hanno lo stesso volume.
Occorre dunque calcolare il volume della piramide.
Il volume della piramide è pari a:
V= Area base x altezza/3.
Immagino che la piramide dell’esercizio sia quadrangolare REGOLARE. Cioè che abbia una base quadrata.
Poiché nel quadrato P= 4xl, posso scrivere che l= P/4 = 56/4 = 14 cm.
L’area della base sarà dunque pari a: lxl = 14 x 14 = 196 cm^2.
Per poter calcolare il volume della piramide manca ancora l’altezza. Tuttavia essa può essere determinata conoscendo l’area della superficie totale del prisma.
Alaterale = Atot –A base = 896 –196 = 700 cm^2.
A laterale = P x ap/2.
Ap indica l’apotema della piramide.
Quindi ap = Alat x2/p = 700 x 2/ 56 = 25 cm.
L’apotema della base è invece pari a Abase x 2/P = 196 x 2/56 = 7 cm.
L’altezza della piramide è ricavabile grazie al teorema di Pitagora, una volta noti i due apotemi della piramide:
h = radice di (ap^2-ap base^2) = radice di (25^2-7^2)= radice di (625 –49) = radice di 576 = 24 cm.
Quindi:
V= Area base x altezza/3 = 196 x 24/3 = 1568 cm^3.
Il parallelelepipedo ha lo stesso identico volume.
Nel suo caso esso è pari a: area base x altezza.
L’area della base, note le sue dimensioni, si calcola facilmente: 7x14 = 98 cm^2.
L’altezza si calcola dalla formula del volume.
V= area base x altezza.
Cioè altezza = V/area base = 1568/98 = 16 cm.
L’area totale del parallelepipedo è pari a: Abase x 2 (perché due sono le basi) + Alat.
A tot = 2 x 98 + 2 x h x 7 + 2 x h x 14 = 196 + 2 x 16 x 7 + 2 x 16 x 14 = 196 + 224 + 448 = 868 cm^2.
2) Prima di tutto, per poter rispondere alle domande del problema è necessario determinare l’area della base e l’altezza della piramide.
L’area della base è presto calcolata.
Conoscendo un cateto e l’ipotenusa di un triangolo rettangolo, il terzo lato è determinato con il teorema di Pitagora:
cateto = radice quadrata di (10^2 –6^2) = radice di (100-36) = radice di 64 = 8 cm.
L’area della base è dunque pari a: Abase = cateto1 x cateto2/2 = 8 x 6/2 = 24 cm^2.
Possiamo dunque già calcolare direttamente il volume della piramide, che è pari a V= Area base x altezza piramide/3 = 24 x 18/3 = 144 cm^3.
L’area della superficie totale è invece pari all’area della superficie laterale più l’area della base.
L’area della base è ormai nota, pari a 24 cm^2.
L’area della superficie laterale è pari al il perimetro di base per l’apotema della piramide diviso 2.
Ovvero A lat = P x ap/2.
Il perimetro di base può essere calcolato immediatamente: P= 6 + 10 + 8 = 24 cm.
L’apotema della piramide è invece calcolabile con il teorema di Pitagora.
La sua formula è ap = radice quadrata di (altezza piramide^2 + apotema base^2).
L’apotema di base è pari a:
2xAbase/perimetro = 2 x 24/24 = 2 cm.
Quindi: ap = radice quadrata di (altezza piramide^2 + apotema base^2) = radice di (18^2+2^2) = radice di (324 + 4) = radice di 328 = 18,11 cm circa
Quindi: A lat = P x ap/2 = 24 x 18,11/2 = 217,37 cm^2.
Atot = A base + Alat = 217,37 + 24 = 241,32 cm^2.
3) Il volume della piramide è pari a: V= Area base x altezza piramide/3.
L’altezza della piramide è nota (e pari a 24 cm). Ciò che non è noto è invece l’area della base, che può tuttavia essere calcolata in base alle informazioni a disposizione.
Si sa infatti che, per il triangolo isoscele di base:
l = 5/6 b
E che P (=160) = b + 2l
Sostituisco la prima equazione nella seconda. Ottengo che: 160 = b + 2l = b + 2 x 5/6 l.
Quindi 160 = b + 5/3 b.
Ovvero 160 = 8/3 b.
B= 160 x 3/8 = 60 cm.
L = 5/6 b = 5/6 x 60 = 50 cm.
Per calcolare l’area del triangolo di base resta ancora da conoscere l’altezza. Tuttavia si sa che nel triangolo isoscele l’altezza relativa alla base divide il triangolo in due triangoli rettangoli identici, nei quali l’ipotenusa è il lato obliquo del triangolo isoscele (50 cm), il cateto orizzontale è pari a metà della base (60/2=30 cm) e il cateto verticale è per l’appunto l’altezza del triangolo.
E’ possibile quindi utilizzare il teorema di Pitagora e scrivere:
H triangolo = radice quadrata di (50^2-30^2) = radice di (2500-900) = radice di 1600= 40 cm.
Pertanto: Area base = bxh/2 = 60 x 40/2 = 1200 cm^2.
V= Area base x altezza prisma/3 = 1200 x 24/3 = 9600 cm^3.
Spero di non aver fatto errori di calcolo perché sono un pochino stanca. In ogni caso mi pare che i problemi siano corretti.
Ciao, a presto!
1)Due solidi sono equivalenti se hanno lo stesso volume.
Occorre dunque calcolare il volume della piramide.
Il volume della piramide è pari a:
V= Area base x altezza/3.
Immagino che la piramide dell’esercizio sia quadrangolare REGOLARE. Cioè che abbia una base quadrata.
Poiché nel quadrato P= 4xl, posso scrivere che l= P/4 = 56/4 = 14 cm.
L’area della base sarà dunque pari a: lxl = 14 x 14 = 196 cm^2.
Per poter calcolare il volume della piramide manca ancora l’altezza. Tuttavia essa può essere determinata conoscendo l’area della superficie totale del prisma.
Alaterale = Atot –A base = 896 –196 = 700 cm^2.
A laterale = P x ap/2.
Ap indica l’apotema della piramide.
Quindi ap = Alat x2/p = 700 x 2/ 56 = 25 cm.
L’apotema della base è invece pari a Abase x 2/P = 196 x 2/56 = 7 cm.
L’altezza della piramide è ricavabile grazie al teorema di Pitagora, una volta noti i due apotemi della piramide:
h = radice di (ap^2-ap base^2) = radice di (25^2-7^2)= radice di (625 –49) = radice di 576 = 24 cm.
Quindi:
V= Area base x altezza/3 = 196 x 24/3 = 1568 cm^3.
Il parallelelepipedo ha lo stesso identico volume.
Nel suo caso esso è pari a: area base x altezza.
L’area della base, note le sue dimensioni, si calcola facilmente: 7x14 = 98 cm^2.
L’altezza si calcola dalla formula del volume.
V= area base x altezza.
Cioè altezza = V/area base = 1568/98 = 16 cm.
L’area totale del parallelepipedo è pari a: Abase x 2 (perché due sono le basi) + Alat.
A tot = 2 x 98 + 2 x h x 7 + 2 x h x 14 = 196 + 2 x 16 x 7 + 2 x 16 x 14 = 196 + 224 + 448 = 868 cm^2.
2) Prima di tutto, per poter rispondere alle domande del problema è necessario determinare l’area della base e l’altezza della piramide.
L’area della base è presto calcolata.
Conoscendo un cateto e l’ipotenusa di un triangolo rettangolo, il terzo lato è determinato con il teorema di Pitagora:
cateto = radice quadrata di (10^2 –6^2) = radice di (100-36) = radice di 64 = 8 cm.
L’area della base è dunque pari a: Abase = cateto1 x cateto2/2 = 8 x 6/2 = 24 cm^2.
Possiamo dunque già calcolare direttamente il volume della piramide, che è pari a V= Area base x altezza piramide/3 = 24 x 18/3 = 144 cm^3.
L’area della superficie totale è invece pari all’area della superficie laterale più l’area della base.
L’area della base è ormai nota, pari a 24 cm^2.
L’area della superficie laterale è pari al il perimetro di base per l’apotema della piramide diviso 2.
Ovvero A lat = P x ap/2.
Il perimetro di base può essere calcolato immediatamente: P= 6 + 10 + 8 = 24 cm.
L’apotema della piramide è invece calcolabile con il teorema di Pitagora.
La sua formula è ap = radice quadrata di (altezza piramide^2 + apotema base^2).
L’apotema di base è pari a:
2xAbase/perimetro = 2 x 24/24 = 2 cm.
Quindi: ap = radice quadrata di (altezza piramide^2 + apotema base^2) = radice di (18^2+2^2) = radice di (324 + 4) = radice di 328 = 18,11 cm circa
Quindi: A lat = P x ap/2 = 24 x 18,11/2 = 217,37 cm^2.
Atot = A base + Alat = 217,37 + 24 = 241,32 cm^2.
3) Il volume della piramide è pari a: V= Area base x altezza piramide/3.
L’altezza della piramide è nota (e pari a 24 cm). Ciò che non è noto è invece l’area della base, che può tuttavia essere calcolata in base alle informazioni a disposizione.
Si sa infatti che, per il triangolo isoscele di base:
l = 5/6 b
E che P (=160) = b + 2l
Sostituisco la prima equazione nella seconda. Ottengo che: 160 = b + 2l = b + 2 x 5/6 l.
Quindi 160 = b + 5/3 b.
Ovvero 160 = 8/3 b.
B= 160 x 3/8 = 60 cm.
L = 5/6 b = 5/6 x 60 = 50 cm.
Per calcolare l’area del triangolo di base resta ancora da conoscere l’altezza. Tuttavia si sa che nel triangolo isoscele l’altezza relativa alla base divide il triangolo in due triangoli rettangoli identici, nei quali l’ipotenusa è il lato obliquo del triangolo isoscele (50 cm), il cateto orizzontale è pari a metà della base (60/2=30 cm) e il cateto verticale è per l’appunto l’altezza del triangolo.
E’ possibile quindi utilizzare il teorema di Pitagora e scrivere:
H triangolo = radice quadrata di (50^2-30^2) = radice di (2500-900) = radice di 1600= 40 cm.
Pertanto: Area base = bxh/2 = 60 x 40/2 = 1200 cm^2.
V= Area base x altezza prisma/3 = 1200 x 24/3 = 9600 cm^3.
Spero di non aver fatto errori di calcolo perché sono un pochino stanca. In ogni caso mi pare che i problemi siano corretti.
Ciao, a presto!
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