2 Problemi di Geometria sulla Piramide !

[mrspasimante]

2)Una piramide quadrangolare regolare ha l'area della superfice laterale tripla dell'area della superfice di base e la superfice totale è 1024 cm^2.
Calcola il volume...
3) Una piramide triangolare regolare ha l'altezza lunga 12 cm e l'altezza del triangolo di base lunga 27 cm .Calcola l'area della superfice totale e il volume della piramide !!!

[strangegirl97]

Primo problema
Prima di tutto dobbiamo sapere quanto sono estese esattamente l'area della superficie laterale e l'area di base. Sappiamo che la prima è il triplo della seconda. Traducendo tutto questo in una proporzione otteniamo:

[math]A_l : A_b = 3 : 1[/math]

Ora applichiamo la proprietà del comporre:

[math](A_l + A_b) : A_l = (3+1) : 3[/math]

Ma la somma tra Al e Ab altro non è che la superficie totale, quindi:

[math]1024 : A_l = 4 : 3\\
A_l = \frac{\no{1024}^{256} * 3} {\no4^1} = 256*3 = 768\;cm^2[/math]

Con lo stesso procedimento otterrai l'area di base, che misura 256 cmq.

Ora diamo un attimo un'occhiata alla formula per calcolare il volume.

[math]V = \frac{A_b * h} {3}[/math]

Abbiamo appena calcolato l'area di base, ma ci manca ancora l'altezza. Dovremmo calcolarla con Pitagora:

[math]h = \sqrt{a^2 - r_i^2}[/math]

Peccato che non conosciamo neppure le lunghezze dell'apotema e del raggio della circonferenza iscritta. Cominciamo dall'apotema.

Prima di tutto ci serve il lato della base, che è un quadrato.

[math]l = \sqrt{A_b} = \sqrt{256} = 16\;cm[/math]

Ora bisogna calcolare il perimetro.
p = l * 4 = cm 16 * 4 = 64 cm

L'area laterale di solito si calcola moltiplicando il perimetro per l'apotema e dividendo tutto per due:

[math]A_l = \frac{p * a}{2}[/math]

Da cui ottieni:

[math]a = \frac{2 * A_l} {p} = \frac{\no2^1 * \no{768}^{24}} {\no{64}^{\no{32}}^1} = 24\;cm[/math]

Ora passiamo al raggio della circonferenza inscritta, cioè il raggio di quella circonferenza che si trova all'interno del quadrato e tocca tutti e quattro i lati. Nel quadrato questo raggio misura la metà del lato, quindi 8 cm. Perciò:

[math]h = \sqrt{a^2 - r^2} = \sqrt{24^2 - 8^2}[/math]

Continua il calcolo ed otterrai l'altezza. Poi passa al calcolo del volume (ho scritto la formula più sopra). Fra un po' posto la soluzione del secondo. ;)

Aggiunto 42 minuti più tardi:

Per calcolare la superficie totale dobbiamo conoscere l'area di base e l'area della superficie laterale. Iniziamo dalla base, che ha la forma di un triangolo equilatero. L'altezza di questo triangolo misura 27 cm. Come forse sai già, l'altezza del triangolo equilatero si calcola così:

[math]h = \frac{l * \sqrt{3}} {2}[/math]

Perciò:

[math]l = \frac{2*h} {\sqrt{3}} = \frac{2*27} {1,732} = \frac{\no{54}^{31,18}} {\no{1,732}^1} = 31,18\;cm[/math]

E per calcolare l'area potrai usare la classica formula b * h/2, oppure p * a/2. Il risultato dovrebbe aggirarsi intorno ai 420,93 cmq.

Ora lasciamo stare un secondo l'area di base e pensiamo a come calcolare l'area laterale. La formula te l'ho già scritta sopra, ma non conosciamo l'apotema. Per ottenerlo dovremmo applicare Pitagora:

[math]a = \sqrt{h^2 + r_i^2}[/math]

Ci manca il raggio della circonferenza iscritta. Nel triangolo equilatero per conoscerlo bisogna moltiplicare il lato per 0,288.

[math]r_i = l*0,288 = 31,18 * 0,288 = 8,98\;cm[/math]

Penso tu possa farcela senza di me da qui in poi. Ricorda:

[math]a = \sqrt{h^2 + r_i^2} = \sqrt{12^2 + 8,98^2}[/math]

[math]A_l = \frac{p * a} {2}[/math]

[math]V = \frac{A_b * h} {3}[/math]

:hi