Urto obliquo contro un pendolo
Salve, allego il testo dell'esercizio con la relativa figura.
Io l'ho risolto così:
a) Ho ragionato sul fatto che essendo la massa vincolata al filo si conserva il momento angolare nell'urto, quindi prendo O il punto che collega il filo al soffitto. Proiettando lungo gli assi x e y ottengo:
Asse x (orizzontale orientato verso destra)
Asse y (verticale verso il basso)
Si ricavano le velocità (L si semplifica):
Quella che interessa è
b) L'energia dissipata vale:
c) Scrivendo l'equazione del moto del pendolo, il periodo vale
dove L lo si trova dalla conservazione dell'energia meccanica subito dopo l'urto. Posto a zero nel punto più basso del pendolo, si trova
Trovo L=13.4 cm, da cui T=0.73 s.
Io l'ho risolto così:
a) Ho ragionato sul fatto che essendo la massa vincolata al filo si conserva il momento angolare nell'urto, quindi prendo O il punto che collega il filo al soffitto. Proiettando lungo gli assi x e y ottengo:
Asse x (orizzontale orientato verso destra)
[math]mv_0L \cos(50^{\circ})-mv_1L \cos(-60^{\circ})=Mv_fL[/math]
Asse y (verticale verso il basso)
[math]mv_0L \sin(50^{\circ})+mv_1L \sin(-60^{\circ})=0[/math]
Si ricavano le velocità (L si semplifica):
[math]v_1=176.9 \ \frac{m}{s} \quad v_f=0.1 \ \frac{m}{s}[/math]
Quella che interessa è
[math]v_f[/math]
.b) L'energia dissipata vale:
[math]\Delta E=E_{cf}-E_{ci}=\frac{1}{2}Mv_f^2+\frac{1}{2}mv_1^2-\frac{1}{2}mv_0^2=-43.49 \ J[/math]
c) Scrivendo l'equazione del moto del pendolo, il periodo vale
[math]T=2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}[/math]
dove L lo si trova dalla conservazione dell'energia meccanica subito dopo l'urto. Posto a zero nel punto più basso del pendolo, si trova
[math]\frac{1}{2}Mv_f^2=MgL(1-\cos(5^{\circ}))[/math]
Trovo L=13.4 cm, da cui T=0.73 s.
Risposte
Tutto giusto.
Solo una piccola cosa: la variazione di energia e` -43.5 J, ma se ti chiedono l'energia dissipata la risposta e` +43.5 J (cioe` il valore assoluto)
Aggiunto 1 giorno più tardi:
Alt!
Ci ho ripensato e c'e` qualcosa di sbagliato!
La legge di conservazione del momento angolare (rispetto al punto di sospensione) e` scritta sbagliata.
L'equazione giusta e`:
devi fare attenzione: la velocita` iniziale del proiettile e la velocita` finale di M "ruotano" intorno ad O in senso antiorario, invece v_1 ruota in senso orario, quindi devi mettere il segno opposto, ma devi anche metterla a secondo membro (contribuisce al momento angolare finale!)
Il calcolo di v_0 e` giusto, ma quello di v_f no e devi correggere!
Di conseguenza cambiano anche i risultati numerici dei punti b e c (ma le formule sono giuste)
Solo una piccola cosa: la variazione di energia e` -43.5 J, ma se ti chiedono l'energia dissipata la risposta e` +43.5 J (cioe` il valore assoluto)
Aggiunto 1 giorno più tardi:
Alt!
Ci ho ripensato e c'e` qualcosa di sbagliato!
La legge di conservazione del momento angolare (rispetto al punto di sospensione) e` scritta sbagliata.
L'equazione giusta e`:
[math]mv_0L\cos\ 50^\circ = Mv_fL-mv_1L\cos\ 60^\circ
[/math]
[/math]
devi fare attenzione: la velocita` iniziale del proiettile e la velocita` finale di M "ruotano" intorno ad O in senso antiorario, invece v_1 ruota in senso orario, quindi devi mettere il segno opposto, ma devi anche metterla a secondo membro (contribuisce al momento angolare finale!)
Il calcolo di v_0 e` giusto, ma quello di v_f no e devi correggere!
Di conseguenza cambiano anche i risultati numerici dei punti b e c (ma le formule sono giuste)
Ho rifatto il calcolo.
Avevo sbagliato la direzione orizzontale della conservazione angolare, infatti era l'unico dubbio che avevo, ma la direzione verticale va bene.
La velocità v_i non cambia, mentre v_f=0.54 m/s invece che 0.1 m/s.
L'energia dissipata risulta E_d=+42.92 J
Il periodo risulta completamente diverso da quello calcolato cambiando v_f, infatti cambia L e risulta T=3.98 s invece che T=0.73 s.
Avevo sbagliato la direzione orizzontale della conservazione angolare, infatti era l'unico dubbio che avevo, ma la direzione verticale va bene.
La velocità v_i non cambia, mentre v_f=0.54 m/s invece che 0.1 m/s.
L'energia dissipata risulta E_d=+42.92 J
Il periodo risulta completamente diverso da quello calcolato cambiando v_f, infatti cambia L e risulta T=3.98 s invece che T=0.73 s.
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