Urto elastico e moto di rotolamento tra due palle da biliardo
Ciao, non riesco ad applicare le leggi di conservazione dell'energia meccanica a questo esercizio:
Una palla da biliardo di massa
a) Calcolare il valore di h tale che, immediatamente dopo l’urto, la palla rotoli senza strisciare.
Al tempo
Determinare:
b) le velocità angolari di rotazione e le velocità con cui si muovono i centri di massa delle due palle subito dopo l’urto;
c) in quali istanti
[SOLUZIONI:
a)
c)
Allora, i miei problemi iniziano con i punti b) e c):
Detto A il punto della prima pallina che si trova a contatto con il piano, la condizione di puro rotolamento è:
per cui
e detti
Ora, nel momento in cui la prima pallina urta la seconda, essendo entrambe le palline lisce e l'urto elastico ed orizzontale, il centro di massa della palla urtante rimane fermo mentre essa ruota di velocità angolare
dove
sarebbe lo spazio percorso dal punto A:
Applicando le leggi del moto mi trovo il tempo
In seguito ho provato anche ad applicare la conservazione dell'energia come
ma non ottenendo comunque il risultato giusto che dev'essere
Una palla da biliardo di massa
[math] M = 0.20kg [/math]
e raggio [math] R =2.5cm [/math]
si trova in quiete su un piano orizzontale avente coefficiente di attrito dinamico [math] \mu d =0.05 [/math]
. Essa viene colpita da una stecca che esercita un impulso orizzontale e centrale (il piano verticale contenente l’impulso passa per il centro della palla) pari in modulo a [math]J = 8.5·10 ^ {−2} Ns [/math]
ed applicato ad un’altezza [math] h [/math]
rispetto al piano di appoggio della palla. a) Calcolare il valore di h tale che, immediatamente dopo l’urto, la palla rotoli senza strisciare.
Al tempo
[math] t_{0} = 0 [/math]
la palla da biliardo, messa in moto dal precedente impulso, urta una seconda palla in quiete, identica alla prima. L’urto è di tipo centrale (il piano verticale contenente la velocità del centro di massa della prima palla passa per il centro della seconda) ed elastico e le superfici delle palle da biliardo sono lisce. Determinare:
b) le velocità angolari di rotazione e le velocità con cui si muovono i centri di massa delle due palle subito dopo l’urto;
c) in quali istanti
[math] t_{1} [/math]
e [math] t_{1} [/math]
le due palle da biliardo inizieranno a muoversi di puro rotolamento.[SOLUZIONI:
a)
[math] h =3.5cm [/math]
;c)
[math] t_{1} =0.248s, t_{2} = t_{1} [/math]
]Allora, i miei problemi iniziano con i punti b) e c):
Detto A il punto della prima pallina che si trova a contatto con il piano, la condizione di puro rotolamento è:
[math] V_{A} = V_{CM} - \omega R = 0 [/math]
per cui
[math] V_{CM} = \omega R [/math]
e detti
[math] r = h - R [/math]
il raggio a cui applicare l'impulso [math] J [/math]
affinché la pallina abbia un moto di puro rotolamento ed [math] I = \frac{2}{5}MR^2 [/math]
il suo momento di inerzia, ottengo [math] h = \frac{7}{5}R [/math]
.Ora, nel momento in cui la prima pallina urta la seconda, essendo entrambe le palline lisce e l'urto elastico ed orizzontale, il centro di massa della palla urtante rimane fermo mentre essa ruota di velocità angolare
[math] \omega [/math]
attorno al suo centro, per cui adesso si ha che [math] v_{A} = \omega R[/math]
e, imponendo che la forza di attrito agisce fin quando la velocità [math] v_{A} [/math]
non si esaurisce, ottengo[math] \frac{1}{2}M v_{A}^2 = Mg \mu _{d} S [/math]
dove
[math] S = \frac{1}{2} \frac{v_{A}^2}{g \mu _{d} } [/math]
sarebbe lo spazio percorso dal punto A:
Applicando le leggi del moto mi trovo il tempo
[math] t_{1} = \frac{S}{v_{A}} = 0.433 s [/math]
che è sbagliato se confrontato alla soluzione.In seguito ho provato anche ad applicare la conservazione dell'energia come
[math] \frac{1}{2}I \omega ^2 = Mg \mu _{d} (\vartheta R) [/math]
ma non ottenendo comunque il risultato giusto che dev'essere
[math] t_{1} = 0.248s [/math]
Risposte
Ecco un altro bell'esercizio!
Il tuo ragionamento e` quasi giusto: subito dopo l'urto le velocita` (dei centri di massa) delle due biglie sono scambiate, cioe` la prima e` ferma e la seconda parte con la velocita` che aveva la prima.
Pero` le due biglie hanno anche velocita` angolare e questo fa entrare in gioco l'attrito, che cambia le cose.
La prima biglia NON si ferma, ma striscia e dopo un tempo t_1 prosegue con moto di puro rotolamento. La condizione che hai scritto tu presuppone invece che la prima biglia si fermi del tutto.
La velocita` prima dell'urto e`
Consideriamo la seconda biglia: subito dopo l'urto il centro di massa ha velocita`
Scriviamo le equazioni del moto per la seconda biglia:
per il moto traslatorio:
Per il moto rotatorio:
Risolviamo le due equazioni del moto con le condizioni iniziali note:
Quindi dopo l'urto la velocita` di traslazione diminuisce partendo da v_0, quella di rotazione aumenta partendo da 0. Ci sara` percio` un istante t_2 in cui:
e da questo istante in poi il moto diventa di puro rotolamento (le due equazioni del moto non sono piu` valide, perche' l'attrito non frena piu` la biglia).
quindi:
Per la prima biglia il procedimento e` analogo: la velocita`di traslazione iniziale e` 0 ed aumentera` a causa dell'attrito, ma quella di rotazione e`
Si trova
Aggiunto 1 ora 52 minuti più tardi:
Se vuoi, la velocita` finale delle biglie si puo` ricavare usando la conservazione del momento angolare. Si ottiene cosi` la velocita` di puro rotolamento ma per calcolare il tempo necessario occorre in ogni caso scrivere un'equazione del moto (traslatorio o rotatorio), per cui non te l'ho proposto inizialmente.
Ma se ti interessa ecco qua:
Faccio i calcoli per la biglia 2.
Scegliamo un punto O sul piano orizzontale, lungo la traiettoria della biglia (il punto e` arbitrario, basta che stia lungo la retta su cui si muove la biglia).
Sulla biglia agiscono: forza peso e reazione normale del piano, che si annullano a vicenda, quindi anche il momento della forza risultante rispetto al punto O e` zero. L'unica altra forza e` l'attrito, che e` diretto lungo la retta congiungente il polo O ed il punto in cui si trova la biglia: quindi il momento della forza di attrito rispetto al polo O e` zero (se avessi scelto come polo un altro punto... sarebbero stati guai!).
Allora il momento angolare della biglia calcolato rispetto O si conserva!
Momento angolare iniziale:
Momento angolare finale (calcolato con il teorema di Koenig), quando inizia il puro rotolamento:
quindi la conservazione di L implica:
per calcolare il tempo occorre scrivere l'equazione del moto traslatorio:
da cui:
La velocita` finale v_f si ottiene al tempo t_2:
Il tuo ragionamento e` quasi giusto: subito dopo l'urto le velocita` (dei centri di massa) delle due biglie sono scambiate, cioe` la prima e` ferma e la seconda parte con la velocita` che aveva la prima.
Pero` le due biglie hanno anche velocita` angolare e questo fa entrare in gioco l'attrito, che cambia le cose.
La prima biglia NON si ferma, ma striscia e dopo un tempo t_1 prosegue con moto di puro rotolamento. La condizione che hai scritto tu presuppone invece che la prima biglia si fermi del tutto.
La velocita` prima dell'urto e`
[math]v_0=J/M=0.425~m/s[/math]
e la condizione di puro rotolamento impone che [math]\omega_0=V_0/R[/math]
.Consideriamo la seconda biglia: subito dopo l'urto il centro di massa ha velocita`
[math]v_0[/math]
ma la velocita` di rotazione e` zero! Quindi per un po' di tempo la biglia slitta.Scriviamo le equazioni del moto per la seconda biglia:
per il moto traslatorio:
[math]Ma=-f_a=-\mu_dMg[/math]
, cioe` [math]a=-\mu_d g[/math]
Per il moto rotatorio:
[math]I\alpha=Rf_a[/math]
, ma occorre ricordare che qui [math]a\neq R\alpha[/math]
perche' c'e` slittamento.Risolviamo le due equazioni del moto con le condizioni iniziali note:
[math]v(t)=v_0-\mu_dg\,t[/math]
[math]\omega(t)=\frac{R\mu_dMg}{I}t=\frac{5}{2}\frac{\mu_dg}{R}t[/math]
Quindi dopo l'urto la velocita` di traslazione diminuisce partendo da v_0, quella di rotazione aumenta partendo da 0. Ci sara` percio` un istante t_2 in cui:
[math]v(t_2)=R\omega(t_2)[/math]
e da questo istante in poi il moto diventa di puro rotolamento (le due equazioni del moto non sono piu` valide, perche' l'attrito non frena piu` la biglia).
quindi:
[math]v_0-\mu_dg\,t_2=R\frac{5}{2}\frac{\mu_dg}{R}t_2[/math]
[math]v_0=\frac{7}{2}\mu_dgt_2[/math]
[math]t_2=\frac{2v_0}{7\mu_dg}=0.248[/math]
sPer la prima biglia il procedimento e` analogo: la velocita`di traslazione iniziale e` 0 ed aumentera` a causa dell'attrito, ma quella di rotazione e`
[math]\omega_0[/math]
(e diminuira` per l'attrito). All'istante t_1 tale che[math]v(t_1)=R\omega(t_1)[/math]
lo slittamento cessa.Si trova
[math]t_1=\frac{2v_0}{7\mu_dg}=t_2[/math]
Aggiunto 1 ora 52 minuti più tardi:
Se vuoi, la velocita` finale delle biglie si puo` ricavare usando la conservazione del momento angolare. Si ottiene cosi` la velocita` di puro rotolamento ma per calcolare il tempo necessario occorre in ogni caso scrivere un'equazione del moto (traslatorio o rotatorio), per cui non te l'ho proposto inizialmente.
Ma se ti interessa ecco qua:
Faccio i calcoli per la biglia 2.
Scegliamo un punto O sul piano orizzontale, lungo la traiettoria della biglia (il punto e` arbitrario, basta che stia lungo la retta su cui si muove la biglia).
Sulla biglia agiscono: forza peso e reazione normale del piano, che si annullano a vicenda, quindi anche il momento della forza risultante rispetto al punto O e` zero. L'unica altra forza e` l'attrito, che e` diretto lungo la retta congiungente il polo O ed il punto in cui si trova la biglia: quindi il momento della forza di attrito rispetto al polo O e` zero (se avessi scelto come polo un altro punto... sarebbero stati guai!).
Allora il momento angolare della biglia calcolato rispetto O si conserva!
Momento angolare iniziale:
[math]L_i=Mv_0[/math]
Momento angolare finale (calcolato con il teorema di Koenig), quando inizia il puro rotolamento:
[math]L_f=Mv_f+I\frac{v_f}{R}[/math]
quindi la conservazione di L implica:
[math]Mv_0=Mv_f+I\frac{v_f}{R}[/math]
, cioe` [math]v_f=\frac{5}{7}{v_0}[/math]
per calcolare il tempo occorre scrivere l'equazione del moto traslatorio:
[math]Ma=-\mu_dMg[/math]
da cui:
[math]v(t)=v_0-\mu_dgt[/math]
La velocita` finale v_f si ottiene al tempo t_2:
[math]v_f=v(t_2)[/math]
cioe` [math]\frac{5}{7}{v_0}=v_0-\mu_dgt_2[/math]
eccetera
Sei stato chiaro ed esaustivo! Ti ringrazio veramente!
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