Svuotamento acqua da recipiente

[nellocoppola]

Ciao,
ho un recipiente a forma cilindrica

altezza (h = 2metri)
area sezione serbatoio A = 0,785 m^2
in basso c'è un foro di scarico con area As = 0,001256 m^2
accelerazione di gravità g =9,81m/s^2
coefficiente di scarico µ = 0,6

All'inizio il recipiente è pieno d'acqua (fino all'altezza di 2m)
poi togliendo il tappo di scarico posto sul fondo, l'acqua comincia a defluire
All'inizio il deflusso dell'acqua è più abbondante...ma man mano che l'altezza del livello
dell'acqua diminuisce, il deflusso diventa più lento.
Calcolare quanto tempo impiega il recipiente a svuotarsi del tutto.

[ingres]

Ci sono già dei post sull'argomento, ma comunque, nell'ipotesi che il recipiente sia aperto (pressione sul pelo libero uguale alla pressione atmosferica) e trascurando la velocità del fluido sul pelo libero (in quanto A > > As), tramite Bernoulli si può trovare la portata di scarico quando il livello è ad un'altezza y:

[math]Q=\mu A_{s}\sqrt{2gy}[/math]

Per la conservazione della massa, e quindi del volume trattando il fluido come incomprimibile, dovrà valere l'equazione:

[math]A\frac{dy}{dt}=-Q=-\mu A_{s}\sqrt{2gy}[/math]

Questa è un'equazione differenziale del primo ordine con condizione iniziale y(0)=h. Trattandosi di un'equazione a variabili separabili è facilmente risolvibile e la sua soluzione è:

[math]y\left(t\right)=\left(\sqrt{h}-\mu\frac{A_{s}}{A}\sqrt{\frac{g}{2}}t\right)^2[/math]

Imponendo y=0 si ottiene il tempo di svuotamento T:

[math]T=\frac{1}{\mu}\frac{A}{A_{s}}\sqrt{\frac{2h}{g}}[/math]

[beatabarese]

Argomento interessante, grazie per averlo creato!

[nellocoppola]

grazie