Sistema elettrostatico

[mimm8]

Ciao :hi mi servirebbe un piccolo aiuto con questo esercizio:

Un sistema elettrostatico è costituito da una carica
puntiforme

[math]Q = 3 \cdot 10^{-8} C [/math]

posta alla distanza

[math]D = 14 cm[/math]

da un piano isolante infinito uniformemente carico con densità superficiale di carica

[math] \sigma = - 10^{-8}\frac{C}{m^2}[/math]

.
Calcolare:
a) La forza con cui la carica Q attira il piano.
b) Le posizioni dello spazio in cui il campo elettrico totale E è nullo.
c) Successivamente una piccola particella

[math](q_{0} = 3.2 \cdot 10^{-7} C \ ,\ m = 1.5 g)[/math]

è
inizialmente in quiete nel punto A, in posizione simmetrica a Q rispetto al piano.
Lasciata libera, la particella

[math]q_{0}[/math]

si allontana dal piano e raggiunge il punto B,
posto a una distanza

[math]d_{1} = 20 cm[/math]

dal piano. Determinare la velocità

[math]v_{B}[/math]

con cui la particella

[math]q_{0}[/math]

raggiunge il punto B.



per il punto a) sapendo che il campo generato da una distribuzione piana di dimensioni
infinite, è perpendicolare al piano con verso entrante. Il modulo del campo elettrico è

[math]E=\frac{\sigma}{2 \epsilon_{0}}[/math]

e quindi la forza sarà pari a

[math]F=Q \cdot E\\[/math]

fino qui è corretto? E per quanto riguarda i punti b e c?
grazie.

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

a) La forza attrattiva esercitata dal piano sulla carica puntiforme
(che per il terzo principio della dinamica ha la stessa intensità
della forza attrattiva esercitata dalla carica puntiforme sul piano)
è banalmente pari a

[math]F = q\,E = q\,\frac{|\sigma|}{2\,\epsilon} = 1.69\cdot 10^{-5}\,N\\[/math]

.

b) Occorre cercare i punti in cui i due campi elettrici,

[math]\mathbf{E}_1[/math]

del piano
ed

[math]\mathbf{E}_2[/math]

della carica puntiforme, sono: paralleli, discordi e di uguale
intensità. La prima condizione è verificata solo per i punti apparte-
nenti all'asse x, la seconda, tra i punti individuati dalla condizione pre-
cedente, seleziona solo quelli tali per cui

[math]x < - D[/math]

o

[math]x > 0[/math]

e la
terza impone che

[math]\frac{|\sigma|}{2\,\epsilon_0} = \frac{Q}{4\,\pi\,\epsilon_0}\,\frac{1}{R^2}[/math]

da cui

[math]R \approx 0.69\,m = 69\,cm[/math]

.
Le ascisse dei due punti cercati sono quindi

[math]x_1 = - D - R = -83\,cm[/math]

,

[math]x_2 = - D + R = 55\,cm\\[/math]

.

c) Direttamente dalla definizione, si ha

[math]V(A) = \frac{Q}{4\,\pi\,\epsilon_0}\,\frac{1}{2\,D} + \frac{\sigma}{2\,\epsilon_0}\,D[/math]

e

[math]V(B) = \frac{Q}{4\,\pi\,\epsilon_0}\,\frac{1}{D + d} + \frac{\sigma}{2\,\epsilon_0}\,d[/math]

, quindi applicando il principio di conser-
vazione dell'energia segue che

[math]q_0\,V(A) = \frac{1}{2}\,m\,v_B^2 + q_0\,V(B)[/math]

da
cui è facilmente calcolabile

[math]v_B \approx 0.29\,\frac{m}{s}\\[/math]

.

Spero sia sufficientemente chiaro. ;)