Sfere concentriche e dielettrico

[rino.f.95]

Ciao, ecco il testo dell'esercizio che mi sta consumando:

Tre conduttori sferici cavi concentrici, di spessore trascurabile, hanno raggi R1 = 10 cm, R2 = 20 cm, R3 = 40 cm. L’intercapedine compresa tra R2 e R3 è riempita di ossigeno liquido (
[math] \kappa [/math]
= 1,5). Un generatore di f.e.m. nota viene collegato al conduttore più interno (polo positivo) e più esterno (polo negativo).
Si esprima, in funzione della carica sulle armature, il campo elettrico in tutto lo spazio. Assumendo uguale a zero il potenziale sulla superficie più interna, esprimere la differenza di potenziale tra i due conduttori più interni e tra i due più esterni; si calcoli anche la capacità dei due conduttori più interni e dei due più esterni.
Calcolare il valore numerico della carica sulle armature nel caso in cui la f.e.m. valga 600 V e calcolare i corrispondenti valori numerici per i punti (b), (c), (d), (e).
Infine si calcoli l’energia elettrostatica del sistema.

Questo è il link del sito a cui si trova: http://slideplayer.it/slide/542114/

Non capisco perché in quella soluzione il campo nello spazio tra le superfici sferiche di raggi R2 ed R3,riempito con ossigeno, dovrebbe essere diverso da 0 :
in qualsiasi configurazione di sistemi composti da tre sfere concentriche si ripete sempre lo stesso format, ovvero:

-la sfera interna (raggio R1) ha, distribuita uniformemente sulla sua superficie (rivolta verso l'esterno) la carica +q positiva. Per induzione elettrostatica completa le cariche che compaiono sulle superfici delle sfere di raggi R2 ed R3 sono rispettivamente -q e +q, queste ultime sempre uniformemente distribuite su di esse.
-il campo elettrico E(r) in funzione di r="distanza dal centro", vale:
1)

[math] 0 \leq r \le R_{1}[/math]

:

[math] \vec E(r)=0[/math]

2)

[math] R_{1} \leq r \le R_{2} [/math]

:

[math] \vec E(r)=\frac{+q}{4 \pi \epsilon _{0} r^2} \hat u_{x} [/math]

3)

[math] R_{2} \leq r \le R_{3} [/math]

:

[math] \vec E(r)=\frac{+q}{4 \pi \epsilon _{0} r^2} \hat u_{x} + \frac{-q}{4 \pi \epsilon _{0} r^2} \hat u_{x} = 0[/math]

4)

[math] R_{3} \leq r \le R_{4} [/math]

:

[math] \vec E(r)=\frac{+q}{4 \pi \epsilon _{0} r^2} \hat u_{x} + \frac{-q}{4 \pi \epsilon _{0} r^2} \hat u_{x} + \frac{+q}{4 \pi \epsilon _{0} r^2} \hat u_{x} = \frac{+q}{4 \pi \epsilon _{0} r^2} \hat u_{x} [/math]

Ovvero, in una configurazione di tre sfere concentriche di questo tipo, dove le cariche delle superfici sferiche interne si propagano completamente per induzione su quelle più esterne, risulta sempre che il campo elettrostatico nello spazio compreso tra la sfera di raggio R2 e quella di raggio R3 è nullo.

Poi devo premettere un'altra osservazione:
sul mio libro di fisica è presente un esempio riguardo il campo elettrostatico prodotto da una sfera con carica q distribuita uniformemente su tutta la sua superficie e immersa in un dielettrico di costante dielettrica relativa

[math] \kappa [/math]

, secondo cui
il campo da essa prodotta risulta essere

[math]\vec E(r) = \frac{+q}{4 \pi \kappa \epsilon _{0} r^2} \hat u_{x} = \frac{\vec E_{0} (r)}{ \kappa } [/math]

, ovvero, uguale a quello che la sfera avrebbe se invece che essere immessa nel dielettrico fosse immessa nel vuoto, ridotta del fattore

[math]\kappa[/math]

rispetto a quest'ultimo.

Tornando all'esercizio, non capisco per quale motivo se il campo elettrico tra la sfera di raggio R2 e quella di raggio R3, che è nullo in assenza di dielettrico, magicamente acquista il valore

[math] \frac{+q}{4 \pi \kappa \epsilon _{0} r^2} \hat u_{x} [/math]

:
se il mio libro mi dice che il campo elettrico prodotto dalla sfera all'interno del dielettrico è uguale a

[math]\vec E(r) = \frac{\vec E_{0} (r)}{ \kappa }[/math]

, in questo esercizio il campo prodotto nello spazio compreso tra la sfera di raggio R2 e quella di raggio R3 come fa a essere

[math]\vec E(r) = \frac{+q}{4 \pi \kappa \epsilon _{0} r^2} \hat u_{x} [/math]

se

[math] \vec E_{0}(r) = 0[/math]

con r tra R2 ed R3??????????????

[mc2]

Il tuo ragionamento mi sembra un po' confuso e non riesco a seguirti. Ma un punto lo devo correggere:

Sulla sfera intermedia la carica totale non e` -q, ma 0 !
Per induzione si ha la carica -q sulla faccia interna, e +q sulla faccia esterna della stessa superficie di raggio R2!

Poi si ha -q sulla sfera esterna (e non +q), in accordo con il fatto che e` collegata al polo negativo.

Quindi perche' il campo elettrico dovrebbe essere zero tra R2 ed R3? Non e` zero, ne` con il dielettrico ma neanche con il vuoto!


Prova a correggere questi punti e a rifare il tuo ragionamento...

[rino.f.95]

Si hai ragione, effettivamente quello che ho scritto è vero solo se si parla di due conduttori sferici distinti, di cui quello interno di raggio R1, mentre quello esterno, cavo, di raggi R2

[mc2]

Il tuo ragionamento mi sembra giusto. Non capisco il risultato del libro.
Ci devo pensare...