Relazione di 20 righi (Simulazione esame di stato)

[Aleksandr]

Sono in difficoltà per una relazione di 20 righi di Fisica. La relazione consiste, partendo dal concetto di flusso del campo elettrico, nel riassumere il teorema di Gauss e la distribuzione lineare infinita di carica in maniera discorsiva, collegando i vari concetti e le varie leggi.

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Allora, senti, io ti schematizzo i punti da "toccare" nella relazione
e poi tu ti preoccuperai di "legarli" facendo dei taglia/cuci con frasi
di senso compiuto, ok? :)

1. Definizione di flusso del campo elettrico. Considera un campo elettrico

[math]\vec{E}[/math]

e una generica superficie chiusa

[math]S[/math]

(chiamata superficie gaussiana).
Ora immagina di suddividere tale superficie in pezzettini molto piccoli tali
da poter essere considerati piani, rappresentati dal vettore

[math]\Delta\vec{S}[/math]

di modulo

[math]\Delta S[/math]

, direzione perpendicolare alla superficie e di verso uscente rispetto

[math]S[/math]

.
Si definisce flusso

[math]\Phi[/math]

del campo elettrico

[math]\vec{E}[/math]

attraverso

[math]S[/math]

la quantità
scalare

[math]\Phi := \sum \, \vec{E}\cdot\Delta\vec{S} = \sum \, \left|\vec{E}\right|\,\left|\Delta\vec{S}\right|\,\cos\theta[/math]

, con

[math]\theta[/math]

l'angolo
compreso tra

[math]\vec{E}[/math]

e

[math]\Delta\vec{S}\\[/math]

.

2. Teorema di Gauss. Il teorema di Gauss mette in relazione il flusso

[math]\Phi[/math]

,
del campo elettrico

[math]\vec{E}[/math]

attraverso una superficie gaussiana

[math]S[/math]

, con le
cariche (positive e negative) racchiuse al suo interno

[math]q_{int}[/math]

. Per cariche nel
vuoto, si ha

[math]\Phi = \frac{q_{int}}{\epsilon_0}[/math]

, con

[math]\epsilon_0[/math]

la costante dielettrica del vuoto rende
conto delle proprietà elettriche del vuoto. Da notare che la somma delle
cariche è limitata alle sole cariche interne alla superficie

[math]S[/math]

considerata:
quelle esterne, invece, non contribuiscono al flusso ma solamente alla
generazione del campo elettrico

[math]\vec{E}\\[/math]

.

3. Applicazione del teorema di Gauss al campo elettrico di distribuzione
lineare infinita di carica. Considera un filo rettilineo, infinitamente lungo,
con una densità di carica lineare (carica per unità di lunghezza) uniforme
pari a

[math]\lambda[/math]

. Per ragioni di simmetria il campo elettrico

[math]\vec{E}[/math]

deve essere
disposto radialmente e quindi la superficie gaussiana "più conveniente" è
un cilindro di raggio

[math]r[/math]

ed altezza

[math]h[/math]

coassiale col filo. Dunque, direttamente
dalla definizione, segue che il flusso

[math]\Phi[/math]

attraverso tale cilindro è pari a

[math]\Phi=\left|\vec{E}\right|\,A\;\cos 0° = E\,(2\,\pi\,r\,h)[/math]

, poiché il flusso attraverso le
basi risulta nullo (dato che risulta parallelo alle basi). Dunque, applicando
il teorema di Gauss, si ha

[math]E\,(2\,\pi\,r\,h) = \frac{\lambda\,h}{\epsilon_0}[/math]

da cui segue che

[math]E = \frac{\lambda}{2\,\pi\,\epsilon_0\,r}[/math]

.
Se ne deduce che il campo elettrico generato da una distribuzione lineare
di carica è inversamente proporzionale alla distanza dal filo e inoltre che,
in un punto a distanza

[math]r[/math]

dal filo, ha direzione radiale verso l’esterno se
la carica è positiva e verso l’interno se è negativa.

Spero possa tornarti utile ;)