Problemi sulla conservazione dell'energia

[patatinabell]

Potete aiutarmi, per favore?

Nel secondo 1) manca spostamento che compie fino
ad arrivare all'inizio della salita quindi s = 2 m.

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Teorema dell'energia cinetica e del lavoro: tale teorema lo si può
scrivere essenzialmente in tre forme equivalenti ma che in base ai
contesti torna utile l'una rispetto all'altra:
i)

[math]L_{tot.A->B} = K_B - K_A[/math]

(valida sempre);
ii)

[math]U_A + K_A = U_B + K_B[/math]

(valida in assenza di attriti);
iii)

[math]L_{non.cons.A->B} = (U_B + K_B) - (U_A + K_A)[/math]

(valida sempre);
dove

[math]K[/math]

è l'energia cinetica e

[math]U\\[/math]

l'energia potenziale.


0. Per la i) si ha

[math]L = K_B - K_A = \frac{1}{2}\,m\left(v_B^2 - v_A^2\right)[/math]

.
Dunque, per definizione di potenza, si ha

[math]P = \frac{L}{\Delta t}\\[/math]

.


1. Dato che l'unica forza non conservativa che fa lavoro è quella di attrito
ed essendo

[math]U_B = U_A[/math]

, la iii) porge

[math]- [\mu_d\,(m\,g)]\,s = K_B - K_A[/math]

da
cui

[math]K_B = \frac{1}{2}\,m\,v_A^2 - \mu_d\,m\,g\,s[/math]

. Risultando

[math]K_B > 0[/math]

significa che il
carrello ha energia per affrontare il dosso. Per raggiungere l'altezza massima

[math]h[/math]

, per la ii), applicabile perché non vi è attrito, deve essere:

[math]U_B + K_B = U_C + K_C[/math]

ossia

[math]0 + K_B = m\,g\,h + K_C[/math]

da cui

[math]K_C = K_B - m\,g\,h[/math]

. A questo punto, se

[math]K_C < 0[/math]

significa che il
carrello non riesce a raggiungere la cima, altrimenti la raggiunge e la
velocità con cui ci arriva è presto calcolata.


2. Considerando convenzionalmente come positiva la direzione orizzontale
verso sinistra, applichiamo la seconda legge di Newton in tale direzione:

[math]8\,\cos(45°) - 6\,\cos(30°) = 10\,a[/math]

da cui

[math]a \approx 0.046\,\frac{m}{s^2}[/math]

che essendo
positiva significa che il pacchetto si muove effettivamente verso sinistra.
Quindi, trattandosi di un moto uniformemente accelerato, si ha

[math]s = \frac{1}{2}\,a\,t^2[/math]

,
da cui

[math]t = \sqrt{\frac{2\,s}{a}}[/math]

ed essendo anche

[math]\small v = a\,t[/math]

segue

[math]\small v = \sqrt{2\,a\,s} \approx 0.27\,\frac{m}{s}\\[/math]

.


3. Trascurando l'attrito dell'aria, per la ii) sappiamo che deve essere

[math]\small U_A + K_A = U_B + K_B[/math]

ossia

[math]0 + \frac{1}{2}\,m\,v_A^2 = m\,g\,h + \frac{1}{2}\,m\,v_B^2[/math]

.
Non rimane che risolvere tale equazione nell'incognita

[math]v_A[/math]

.
Dal momento che nel punto più alto necessariamente la velocità
è orizzontale, l'angolo di lancio è pari ad

[math]\alpha = \arccos\left(\frac{v_B}{v_A}\right)\\[/math]

.


4. Essendo

[math]U_{el} = \frac{1}{2}\,k\,(\Delta L)^2[/math]

è possibile determinare la rigidezza

[math]\small k[/math]

della molla e quindi tramite la legge di Hooke calcolare

[math]\small F = k\,\Delta L[/math]

.
Infine, nuovamente grazie alla ii) deve essere

[math]\small U_A + K_A = U_B + K_B[/math]

,
ossia

[math]\frac{1}{2}\,k\,(\Delta L)^2 + 0 = \frac{1}{2}\,k\,(\Delta L')^2 + \frac{1}{2}\,m\,v_B^2[/math]

equazione da
cui, se fosse nota la massa

[math]m[/math]

del corpo attaccato alla molla, sarebbe
possibile calcolarne la velocità

[math]v_B\\[/math]

in detto punto.


Spero sia sufficientemente chiaro. ;)