Problema sulla gravitazione

[No3211]

Un'astronave sta percorrendo un'orbita attorno al centro della terra (M= 5,972*10^24 Kg), alla velocità di 2,61 Km/s. Dall'astronave viene sparato un proiettile in direzione tangente alla traiettoria dell'astronave e nel verso in cui essa si sta muovendo; nel sistema di riferimento dell'astronave il modulo della velocità del proiettile vale 160m/s. a) Analizza le ragioni fisiche che determinano la traiettoria dell'astronave e calcola il raggio di tale traiettoria.
b)Determina la velocità iniziale del proiettile nel sistema di riferimento in cui il centro della terra è in quiete.
c)Stabilisci le proprietà che legano tra loro i punti di minima e di massima distanza del proiettile dal centro della Terra; trova il valore dell'asse maggiore dell'orbita del proiettile.
d)Calcola la distanza focale di tale orbita
Risultati:
a)5.85×10^7 m
b)2.77×10^3 m/s
c)13.4×10^7 m
d)1.69×10^7 m
Sono riuscito a fare i punti a e b ma sono bloccato al punto c potreste aiutarmi?
Grazie.

[Oronero53]

a)
v = v0 + v'
v = 2610 + 160 = 2770 m/s = 2,77x10^3 m/s

b)
a = semiasse maggiore
b = semiasse minore
conservazione momento angolare
m va a = m vb b
da cui
a = b (vb / va)
dove
b = M G / v0^2
vb = v
va = v0
quindi
a = M G / (v0 v)
l'asse maggiore e`
A = 2a = (2 M G) / (v0 v)