Problema massa che rotola su una scodella di forma emisferica

[Newton_1372]

Abbiamo una scodella di forma emisferica (raggio R) da cui viene fatta rotolare una piccola massa m. La scodella presente un coefficiente di attrito pari a

[math] \mu_c[/math]

. Determinare il lavoro speso dalla massa per arrivare in fondo alla scodella.

[math] W = \int_0^{\pi/2}\tau d\theta =\int_0^{\pi/2} \sum FR d\theta=\int_0^{\pi/2}mgR(\cos\theta+\mu_c\sin\theta)[/math]

Il risultato dell'integrale mi verrebbe

[math] mgR(1-\mu_c)[/math]

, ma secondo il libro è semplicemente

[math] mgR\mu_c[/math]

Aggiunto 2 ore 38 minuti più tardi:

Ah ho un altro quesito relativo a questo problema. Si chiede di determinare la posizione angolare in cui la massa si ferma. Ho pensato di precedere così

[math]\omega^2=2\alpha\Delta\theta[/math]

Pongo la velocità angolare uguale a 0 e ottengo

[math]2\theta\alpha=0\rightarrow \frac{2g}{R}\theta(\cos\theta-\mu_c\sin\theta)=0[/math]

Da cui mi ricavo la banale soluzione teta = 0 e poi la soluzione che mi serve:

[math] \theta=\cot^{-1} \mu_c [/math]

Il libro però mi da esattamente il doppio:

[math]\theta = 2\cot^{-1} \mu_c[/math]

[the.track]

Te hai tenuto conto anche del lavoro fatto dal campo gravitazionale, che non ti viene chiesto, ed è quell'"1" che ti esce. Se sviluppi capisci meglio:

[math]mgR(1-\mu_c)=mgR-mgR\mu_c[/math]

Il primo termine vedi che non è altro che l'energia potenziale che perde la massa, ossia il lavoro fato dal campo. Il secondo termine ti indica il lavoro fatto dalla forza di attrito, ossia l'energia che perde (nel vero senso della parola), quella quindi che non conserva. Il problema ti chiede il lavoro fatto dalla massa, in modo ATTIVO. Il segno meno che ti ritrovi è dovuto al fatto che te vedi il lavoro dall'esterno, quindi quello che fa la massa lo vedi negativo giustamente.

Aggiunto 1 minuti più tardi:

P.S.: L'unico lavoro che può fare la massa è quello relativo alla forza d'attrito.

Aggiunto 1 giorni più tardi:

Io direi:

[math]E_{k_{In}}-V_{Fin}=\int \tau _{att}d\theta[/math]

Aggiunto 3 giorni più tardi:

Quel conto sta nel potenziale gravitazionale. L'unico problema di come ho posto io il problema è stimare il momento della forza d'attrito, in quanto dipende anche dalla velocità del corpo (tramite la forza centripeta).

Ma te che principio/legge hai usato?

[Newton_1372]

Capito....e l'angolo perchè non mi viene?

Aggiunto 4 giorni più tardi:

COntinua a non venire! Dovrebbe ssere

[math] \theta = 2\cot^{-1} \mu_c [/math]

Aggiunto 1 minuti più tardi:

Ho pensato che per far fermare la massa dobbiamo dissipare con l'attrito tutta l'energia potenziale iniziale...quindi pensavo di fare qlcs del tipo

[math]W_{attr} = U_0[/math]

Aggiunto 21 ore 9 minuti più tardi:

Track non capisco...anche la gravità tende a far fermare la palla...e quindi anch'essa dovrebbe dissipare energia energia cinetica...

Aggiunto 2 giorni più tardi:

Un attimo. Il mio ragionamento era questo.

[math] W_{tot} = W_{attr}+W_{grav}=U_{iniz} = mgR[/math]

Ma ho notato una cosa strana...ponendo l'accelerazione uguale a 0, mi trovo effettivamente

[math] \theta = \tan\mu [/math]

, cioè esattamente la META' di quello che dovrebbe venire...