Problema fisica - Trasformazioni Galileiane

[claudio61]

Un bullone si stacca dal tetto di una carrozza di un treno e cade al suolo. Sapendo che il treno si muove lungo un binario rettilineo con a nel verso del moto e trascurando la resistenza dell aria, descrivere ( condizioni iniziali, a, etc) la traiettoria del bullone da: un passeggero del treno e da una persona ferma al suolo. Grazie

[mc2]

Il bullone e` accelerato verso il basso dalla gravita`, il vagone e` accelerato orizzontalmente.


La traiettoria del bullone per una persona ferma fuori dal treno (osservatore inerziale) e` quella di una caduta libera.
Condizioni iniziali al tempo

[math]t=0[/math]

:

[math]y_0=h[/math]

(altezza del tetto della carrozza),

[math]v_0=[/math]

velocita` del treno nell'istante in cui si stacca il bullone, diretta orizzontalmente.


In forma vettoriale:

[math]\vec{r}(0)=h\hat{j}[/math]

,

[math]\vec{v}(0)=v_0\hat{i}[/math]

Legge oraria:

[math]x(t)=v_0t[/math]

,

[math]y(t)=h-\frac{1}{2}gt^2[/math]

Ricaviamo t dalla prima equazione e sostituiamo nella seconda:

[math]t=\frac{x}{v_0}[/math]

[math]y=h-\frac{g}{2v_0^2}x^2[/math]

questa e` la traiettoria secondo l'osservatore a terra: si tratta di una parabola.


Il tempo di caduta e`

[math]t_c=\sqrt{\frac{2h}{g}}[/math]

(si ricava da

[math]y(t)=h-\frac{1}{2}gt^2[/math]

con

[math]y=0[/math]

e risolvendo rispetto al tempo). Lo spazio percorso orizzontalmente durante questo tempo e`

[math]x_1=v_0t_c[/math]

, ma nel tempo

[math]t_c[/math]

il vagone si e` spostato in avanti di un tratto

[math]x_2=v_0t_c+\frac{1}{2}at_c^2[/math]

,
quindi il bullone tocca il pavimento del vagone in un punto

[math]\Delta x=x_1-x_2=-\frac{1}{2}at_c^2=-\frac{ah}{g}[/math]

piu` indietro rispetto a quello da cui si e` staccato.



Per una persona a bordo del treno, il proiettile e` soggetto a due accelerazioni:

[math]g[/math]

verso il basso (gravita`) e

[math]-a[/math]

orizzontale, nel verso opposto al moto (questa e` un'accelerazione apparente, perche' il sistema di riferimento del treno non e` inerziale).
La velocita` iniziale del bullone e` nulla.

Le leggi orarie quindi sono:

[math]x'(t)=-\frac{1}{2}at^2[/math]

[math]y'(t)=h-\frac{1}{2}gt^2[/math]

La traiettoria si ottiene ricavando t dalla prima equazione e sostituendo nella seconda:

[math]t=\sqrt{-\frac{2x'}{a}}[/math]

(non spaventarti del segno - sotto radice:

[math]x'[/math]

e` negativo!)

[math]y'=h+\frac{1}{2}g\frac{2x'}{a}=h+\frac{x'g}{a}[/math]

la traiettoria percio`, secondo il sistema di riferimento del treno, e` una retta.

Il tempo di caduta e`

[math]t_c=\sqrt{\frac{2h}{g}}[/math]

(uguale a quello trovato nel sistema di riferimento a terra), lo spostamento orizzontale del punto di caduta e` dato direttamente da:

[math]\Delta x=x'(t_c)=-\frac{1}{2}at_c^2=-\frac{ah}{g}[/math]

.


Quindi i due osservatori misurano lo stesso tempo di caduta e lo stesso spostamento orizzontale. Cambia la descrizione del moto secondo i due osservatori: per uno la traiettoria e` parabolica, per l'altro e` rettilinea

Aggiunto 4 minuti più tardi:

La legge di trasformazione tra un sistema di riferimento e l'altro e` la relazione che lega

[math](x',y')[/math]

a

[math](x,y)[/math]

:

[math]x'=x-v_0t-\frac{1}{2}at^2[/math]

[math]y'=y[/math]