Problema di termologia

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Un cubetto di ghiaccio di 50 grammi che si trova inizialmente in un congelatore alla temperatura di -15°C, viene immerso in un recipiente contente 200grammi di acqua. Se l’acqua inizialmente si trova alla temperatura di 25°C, determinare la temperatura finale del sistema acqua e ghiaccio, quando si raggiunge l’equilibrio termico. Si trascurino gli scambi termici con il contenitori e l’ambiente esterno.


Titolo modificato da moderatore.

[Studente Anonimo]

Problema
Un cubetto di ghiaccio (calore specifico

[math]c_g=0.5\,cal/g\,°C[/math]

e calore latente

[math]q_l=80\,cal/g[/math]

) di massa

[math]m=50\,g[/math]

viene immerso in un recipiente isolato
contenente

[math]M=200\,g[/math]

di acqua (calore specifico

[math]c_a = 1\,cal/g\,°C[/math]

).
Se il ghiaccio proviene da un congelatore a

[math]T_1=-15\,°C[/math]

e se l'acqua inizialmente
ha una temperatura

[math]T_2=25\,°C[/math]

, quale sarà la temperatura

[math]T_f[/math]

del sistema
acqua-ghiaccio quando si raggiunge l'equilibrio termico?


Ipotesi
Posto

[math]T_0:= 0\,°C\\[/math]

, si possono riscontrare tre casi:
1.

[math]T_0 < T_f < T_2\\[/math]

: tutto il ghiaccio fonde e si ha solo acqua;
2.

[math]T_f = T_0\\[/math]

: in questo caso si ha una miscela di acqua e ghiaccio;
3.

[math]T_1 < T_f < T_0\\[/math]

: tutta l'acqua solidifica e si ha solo ghiaccio.

A questo punto, ipotizzando di cadere nel primo caso (il più plausibile in base ai dati a nostra disposizione), per determinare

[math]T_f[/math]

è sufficiente imporre l'equilibrio termico uguagliando il
calore ceduto dalla massa

[math]M[/math]

di acqua con il calore assorbito dalla massa

[math]m[/math]

di ghiaccio (considerando tutti e tre i contributi). Alla luce di quello che ho scritto, sapresti imporre tale
equilibrio? Prova a scriverlo che poi ne discutiamo assieme ;)

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Sul libro ho trovato questa formula: ma ca ( T – Ta ) = - mx cx (T - Tx)

Sostituendo ho:
200g x 4.168J ( Teq – 20°C) = - 50g x 0.5J (Teq – (-15))
833.6 Teq – 16672°C = -25 Teq - 375°C
858.6 Teq = 16297
Teq = 18.98 °C


E' giusto?

[Studente Anonimo]

Oddio, non puoi utilizzare la prima formula che ti capita sotto mano!!

Il primo membro è corretto dato che

[math]M\,c_a\left(T_2-T_f\right)[/math]

rappresenta proprio il calore ceduto dalla massa

[math]M\\[/math]

di acqua (occhio alle unità di misura e alle quantità note).

D'altro canto, al secondo membro bisogna stare attenti a ciò che bisogna considerare. Infatti, il calore assorbito dalla massa

[math]m[/math]

di ghiaccio è dato da

[math]m\,c_g\left(T_0-T_1\right)+m\,q_l + m\,c_a\left(T_f-T_0\right)\\[/math]

Ciò scritto, è sufficiente imporre l'equilibrio ottenendo un'equazione nell'incognita

[math]T_f[/math]

, sostituendovi i dati (sopra scritti) e prestando particolare attenzione alle unità di misura.


Dai, mostra i passaggi che vediamo se pervieni al risultato corretto ;)

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Ahah ok!

Sostituendo la formula che mi hai suggerito ( mcg(T0−T1)+mql+mca(Tf−T0)), viene:
50g x 0.5 cal/g°C ( o -( -15°C) +50g x 80 cal/g °C + 200g x 4.168J (Tf - 0) =
375cal + 4000 cal/ °C + 833.6 J Tf =
Tf = ( -4000-375)/833.6
Tf= -5.25

E' giusto che sia negativa?!

[Studente Anonimo]

Dove sarebbe l'equazione di equilibrio? :(

Come scritto nel primo messaggio devi eguagliare il calore ceduto dalla massa

[math]M[/math]

dell'acqua e il calore assorbito dalla massa

[math]m\\[/math]

del ghiaccio, ossia:

[math]M\,c_a\left(T_2-T_f\right)=m\,c_g\left(T_0-T_1\right)+m\,q_l + m\,c_a\left(T_f-T_0\right)\\[/math]

Dai, che stavolta forse è quella buona :D

[483]

Sostituendo Mca(T2−Tf)=mcg(T0−T1)+mql+mca(Tf−T0)

viene:
200g x 4.168J = 50g x 0.5 cal/g°C ( o -( -15°C) +50g x 80 cal/g °C + 50g x 4.168J (Tf - 0)

833.6 gJ = 375 cal + 4000 cal °C + 208.4 TF
Tf = -3541.4/ 208.4

Tf= -16.99°C

E'giusta?! O.o

[Studente Anonimo]

Finché mescolerai Joule e calorie difficilmente ne uscirai!!

A questo punto, non mi rimane che mostrarti ogni singolo passaggio,
nella speranza che dal prossimo esercizio tu presta molta più attenzione.

Dunque, si ha:

[math]M\,c_a\left(T_2-T_f\right)= 200[g]\,1\left[\frac{cal}{g\,°C}\right]\left( 25 - T_f \right)[°C] = (5000-200\,T_f)[cal] \; ;\\[/math]

[math]m\,c_g\left(T_0-T_1\right)= 50[g]\,0.5\left[\frac{cal}{g\,°C}\right]\left( 0 + 15 \right)[°C] = 375[cal] \; ; \\[/math]

[math]m\,q_l = 50[g]\,80\left[\frac{cal}{g}\right] = 4000[cal]\; ; \\[/math]

[math]m\,c_a\left(T_f-T_0\right) = 50[g]\,1\left[\frac{cal}{g\,°C}\right]\left( T_f - 0 \right)[°C] = 50\,T_f[cal] \; ; \\[/math]

e "ricomponendo" tutti i "tasselli" si ottiene:

[math]5000-200\,T_f=375+4000+50\;T_f \; \Leftrightarrow \; T_f = 2.5\,°C\\ [/math]

che è in accordo con l'ipotesi fatta:

[math]0 < 2.5 < 25\\[/math]

.

Claro? :)

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Allora risolto in questo modo è sbagliato ?!

Mg Cg (Tg - Teq) + Mg Qfusione = Ma Ca (Ta - Teq)

(Ma Ta - Mg Qg - Mg Tg) /( Ma+ Mg)
( 200 x 25 - 50 x 80 + 50x -15 ) /(250)

Teq = 1

[Studente Anonimo]

Se il risultato corretto è quello sopra mi pare ovvio che quest'altro sia necessariamente scorretto. Però, se mi chiedessi a cosa fa riferimento quella formula su due piedi non te lo saprei dire (potrebbe essere anche equivalente a quella che ti ho mostrato ma scritta diversamente), dato che in fisica le formule da imparare a memoria le conti sulle dita delle mani, mentre tutte le altre per non rischiare di sbagliare è bene "comporle" di volta in volta tramite equazioni di bilancio (di massa, di energia, di quantità di moto, etc).

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Non ho il risultato del problema D:

Posso chiederti una mano anche per un altro problema? (sempre di fisica)

[Studente Anonimo]

Era una frase retorica quella di cui sopra. Infatti, dato che il bilancio di energia
è quello e i conti li ho fatti fare al pc, non credo ci siano molte alternative :)

Per altri problemi apri un nuovo thread avendo cura di scrivere correttamente
titolo e testo (è fondamentale partire con delle informazioni chiare!). Inoltre, per
regolamento, abbi cura di scrivere i tuoi passaggi/ragionamenti (e che non siano
solo "ho trovato questa formula, va bene?" ). Dai, su, un po' di impegno. ;)