Problema di fisica (77364)
Ci sono due battelli che partono contemporaneamente dalle sponde di un fiume. Il battello B è più veloce di quello A e hanno velocità costante. Partono insieme e quando si incontrano A ha percorso 720 metri dalla sua riva. Arrivati alla sponda opposta di quella di partenza, i battelli si fermano 10 minuti a testa[senza aspettarsi l'un l'altro] e poi ripartono per il ritorno. Quando si riincontrano si trovano a 400 metri di distanza dalla sponda da cui è partito B. Senza considerare nessun attrito nè corrente del fiume, quanto è largo il fiume?? Grazie in anticipo...
Risposte
Ecco la soluzione. Ci ho dovuto pensare parecchio, ma credo di essere arrivata al dunque. A me sembra giusta, e spero di non aver commesso errori.
In caso contrario, declino ogni responsabilità.
Soluzione:
Il problema può essere considerato diviso in due momenti: primo viaggio dei battelli e secondo viaggio dei battelli.
Ognuno di questi "viaggi fornisce una informazione necessaria per risolvere il problema.
In generale, ancor prima di cominciare, si può scrivere che:
Vb>Va
Sa(spazio percorso dal battello A)= VaxTa cioè Ta=Sa/Va
Sb(spazio percorso dal battello B)= VbxTb cioè Tb=Sb/Vb
Primo viaggio:
Il battello B lascia la sua riva andando incontro al battello A e il battello A lascia la sua riva andando incontro al battello B.
Ad un certo istante t i due battelli si incontrano. Quando questo avviene Sa=720m, mentre non sappiamo quanta strada abbia percorso il battello B. Tuttavia sappiamo che Sb=S-Sa=S-720, dove S è la larghezza del fiume, che è appunto il dato che il problema richiede di determinare.
Poichè si incontrano nel medesimo istante t, è possibile scrivere che Sa/Va=Sb/Vb.
Cioè Sa(Vb/Va)=Sb, cioè Sa(Vb/Va)=S-Sa cioè Sa+Sa(Vb/Va)=S.
Mettendo in evidenza Sa e sostituendogli il suo valore (che p noto), si ottiene: S=720(1+Vb/Va).
In questa equazione compaiono tre incognite: S,Va e Vb. Tuttavia non è conoscere il preciso valore di Vb e Va quello che interessa per risolvere il problema, ma soltanto il valore del loro rapporto Vb/Va. Quindi, se si considera Vb/Va come un'unica incognita, ecco che quella appena ottenuta è una equazione con due sole incognite.
E' sufficiente trovare un'altra equazione che contenga le stesse incognite e il problema risulta essere determinato.
Questa equazione la fornisce il "secondo viaggio".
Secondo viaggio:
Seguiamo cosa accade ai due battelli SEPARATAMENTE a partire dal momento del primo incontro durante il primo viaggio.
Dopo essersi incontrati una prima volta ad una distanza di 720 m dalla riva di A, il battello B compie il seguente percorso.
1) Percorre i 720 m che gli restano per raggiungere la riva opposta (quella che era la riva di partenza di A). Per far questo impiega un tempo t'b pari a 720/Vb.
2) Resta fermo sulla riva dieci minuti, cioè 10'. Quindi t''b=10'.
3) Passati i 10', riparte verso la riva opposta. Incontra di nuovo A dopo aver percorso 400m. Quindi incontra nuovamente A dopo un tempo pari a t'''b=400/Vb.
Il battello A, invece, dopo aver incontrato B la prima volta, compie le seguenti azioni.
1) Percorre i metri che gli restano per raggiungere la riva opposta (quella che era la riva di partenza di B). Per far questo impiega un tempo t'a pari a (S-720)/Va.
2) Resta fermo sulla riva dieci minuti, cioè 10'. Quindi t''a=10'.
3) Passati i 10', riparte verso la riva opposta. Incontra di nuovo B dopo aver percorso S-400m. Quindi incontra nuovamente B dopo un tempo pari a t'''a= (S-400)/Va.
Poichè il secondo incontro deve avvenire nel medesimo istante di tempo t (è ovvio), è possibile scrivere che t'b+t"b+t'''b=t'a+t"a+t'''a.
Sostituendo a ciascun tempo il suo valore si ottiene:
720/Vb+10'+400/Vb=(s-720)/Va+10'+(S-400)/Va
Cioè: 720/Vb+400/Vb=(S-720)/Va+(S-400)/Va
Cioè 1120/Vb= (2S-1120)/Va
Quindi 1120/(2s-1120)=Vb/Va
Ecco la seconda equazione necessaria per risolvere il problema.
Ricaviamo Vb/Va dalla prima equazione:
S=720(1+Vb/Va)=720+720(Vb/Va)
Vb/Va= (S-720)/720.
La prima equazione così trasformata e la seconda sarnno dunque uguali. le possiamo perciò uguagliare: (S-720)/720 = 1120/(2s-1120).
Cioè: ( S-720)(2S-1120)=720x1120
Sviluppiamo il prodotto: 2S^2 -1120S -1440S + 806400=806400.
Quindi 2S^2 - 2560 S =0
2S-2560=0
Quindi S=1280 m.
Fine del problema. Spero di esserti stata d'aiuto. Ciao!
In caso contrario, declino ogni responsabilità.
Soluzione:
Il problema può essere considerato diviso in due momenti: primo viaggio dei battelli e secondo viaggio dei battelli.
Ognuno di questi "viaggi fornisce una informazione necessaria per risolvere il problema.
In generale, ancor prima di cominciare, si può scrivere che:
Vb>Va
Sa(spazio percorso dal battello A)= VaxTa cioè Ta=Sa/Va
Sb(spazio percorso dal battello B)= VbxTb cioè Tb=Sb/Vb
Primo viaggio:
Il battello B lascia la sua riva andando incontro al battello A e il battello A lascia la sua riva andando incontro al battello B.
Ad un certo istante t i due battelli si incontrano. Quando questo avviene Sa=720m, mentre non sappiamo quanta strada abbia percorso il battello B. Tuttavia sappiamo che Sb=S-Sa=S-720, dove S è la larghezza del fiume, che è appunto il dato che il problema richiede di determinare.
Poichè si incontrano nel medesimo istante t, è possibile scrivere che Sa/Va=Sb/Vb.
Cioè Sa(Vb/Va)=Sb, cioè Sa(Vb/Va)=S-Sa cioè Sa+Sa(Vb/Va)=S.
Mettendo in evidenza Sa e sostituendogli il suo valore (che p noto), si ottiene: S=720(1+Vb/Va).
In questa equazione compaiono tre incognite: S,Va e Vb. Tuttavia non è conoscere il preciso valore di Vb e Va quello che interessa per risolvere il problema, ma soltanto il valore del loro rapporto Vb/Va. Quindi, se si considera Vb/Va come un'unica incognita, ecco che quella appena ottenuta è una equazione con due sole incognite.
E' sufficiente trovare un'altra equazione che contenga le stesse incognite e il problema risulta essere determinato.
Questa equazione la fornisce il "secondo viaggio".
Secondo viaggio:
Seguiamo cosa accade ai due battelli SEPARATAMENTE a partire dal momento del primo incontro durante il primo viaggio.
Dopo essersi incontrati una prima volta ad una distanza di 720 m dalla riva di A, il battello B compie il seguente percorso.
1) Percorre i 720 m che gli restano per raggiungere la riva opposta (quella che era la riva di partenza di A). Per far questo impiega un tempo t'b pari a 720/Vb.
2) Resta fermo sulla riva dieci minuti, cioè 10'. Quindi t''b=10'.
3) Passati i 10', riparte verso la riva opposta. Incontra di nuovo A dopo aver percorso 400m. Quindi incontra nuovamente A dopo un tempo pari a t'''b=400/Vb.
Il battello A, invece, dopo aver incontrato B la prima volta, compie le seguenti azioni.
1) Percorre i metri che gli restano per raggiungere la riva opposta (quella che era la riva di partenza di B). Per far questo impiega un tempo t'a pari a (S-720)/Va.
2) Resta fermo sulla riva dieci minuti, cioè 10'. Quindi t''a=10'.
3) Passati i 10', riparte verso la riva opposta. Incontra di nuovo B dopo aver percorso S-400m. Quindi incontra nuovamente B dopo un tempo pari a t'''a= (S-400)/Va.
Poichè il secondo incontro deve avvenire nel medesimo istante di tempo t (è ovvio), è possibile scrivere che t'b+t"b+t'''b=t'a+t"a+t'''a.
Sostituendo a ciascun tempo il suo valore si ottiene:
720/Vb+10'+400/Vb=(s-720)/Va+10'+(S-400)/Va
Cioè: 720/Vb+400/Vb=(S-720)/Va+(S-400)/Va
Cioè 1120/Vb= (2S-1120)/Va
Quindi 1120/(2s-1120)=Vb/Va
Ecco la seconda equazione necessaria per risolvere il problema.
Ricaviamo Vb/Va dalla prima equazione:
S=720(1+Vb/Va)=720+720(Vb/Va)
Vb/Va= (S-720)/720.
La prima equazione così trasformata e la seconda sarnno dunque uguali. le possiamo perciò uguagliare: (S-720)/720 = 1120/(2s-1120).
Cioè: ( S-720)(2S-1120)=720x1120
Sviluppiamo il prodotto: 2S^2 -1120S -1440S + 806400=806400.
Quindi 2S^2 - 2560 S =0
2S-2560=0
Quindi S=1280 m.
Fine del problema. Spero di esserti stata d'aiuto. Ciao!
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