Problema di fisica (1702)

[indovina]

una biglia di massa m lanciata verticalmente verso l'alto raggiunge la massima altezza H.
se nello steso istante in cui questa viene lanciata si lascia cadere dall'altezza h una seconda biglia di uguale massa sulla stessa verticale, quanto vale l'energia potenziale gravitazionale di ciascuna delle due biglie nel punto di incontro?
quanto vale l'energia cinetica della biglia in caduta libera considerata nella domanda precedente nel punto di incontro delle due biglie?

[minimo]

allora vediamo
equazione oraria della massa che viene lanciata

ii)

[math]S_{1}(t)=-\frac{gt^{2}}{2}+v_{0}t[/math]

i)

[math]v_{1}(t)=-gt+v_{0}[/math]

equazione oraria della massa lasciata cadere

j)

[math]S_{2}(t)=-\frac{gt^{2}}{2}+h[/math]

jj)

[math]v_{2}(t)=-gt[/math]

Per il teorema di conservazione dell'energia si ha per la massa lasciata cadere

[math]\frac{mv_{2}^{2}}{2}+mgx=mgh[/math]

dove

[math]x[/math]

è l'altezza in cui si incrociano le due masse; semplificando

(*)

[math]\frac{v_{2}^{2}}{2g}+x=h[/math]

ora diciamo

[math]t[/math]

l'istante in cui la massa m lasciata cadere da un altezza

[math]h[/math]

incrocia quella lanciata dal basso, sostituendo nella (*) la jj) e la i) abbiamo

[math]\frac{(gt)^{2}}{2g}+S_{1}(t)=h[/math]

[math]\frac{(gt)^{2}}{2g} - \frac{gt^{2}}{2}+v_{0}t=h[/math]

osserviamo che

[math]\frac{mv_{0}^{2}}{2}=mgH[/math]

da cui

[math]v_{0}=\sqrt{2gH}[/math]

[math]\frac{(gt)^{2}}{2g} - \frac{gt^{2}}{2}+v_{0}t=h[/math]

allora diventa

[math]\frac{gt^{2}}{2} - \frac{gt^{2}}{2}+\sqrt{2gH}t=h[/math]

[math]t=\frac{h}{\sqrt{2gH}}[/math]

questo è l'istante in cui si incrociano basta metterlo nelle equazioni orarie e si calcola

[math]x[/math]

e la velocità e quindi energia potenziale e cinetica

Credo che sia ora che vada in pensione me stò a fà vecchio

[indovina]

e quali sarebbero le formule?

[minimo]

Allora i dati sono H ed h ed il tempo trovato è in funzione di questi due valori (+ la g che è l'accelerazione di gravità)

Puoi sostituire il valore di t in una qualsiasi delle due equazioni orarie cioè o la ii) o la j) il risultato è lo stesso (se ho fatto bene il ragionamento). L'istante t che ho calcolato è infatti l'istante in cui le due masse sono alla stessa altezza.

Poi piazzi l'istante t nella i) e nella jj) così ti trovi le velocità e quindi l'energia cinetica.