Problema di cinematica

[lavagna4321]

Due carrellini partono da due stazionicine distanti d e sullo stesso binario con velocità (rispetto alla stazioncina di partenza) relativamente v1(t)=a*t e v2(t)=b*t + c*t^3.
a = 0.50 m/s^2
b = -1.0 m/s^2
c = 0.20 m/s^4
d = 2.0 m Se le stazioncine sono distanti d calcolare:
La velocità del primo carrello nel sistema di riferimento del secondo (in funzione del tempo). (RISOLTO)
Il tempo trascorso dalla partenza a quando si incontrano. (NON RISOLTO) (risultato: 1,9 s)
La distanza percorsa dal primo carrello prima di incontrare il secondo. (RISOLTO) (0,87 m)

[mc2]

Velocita` del primo carrello nel SR del secondo:

[math]v'_{1}(t)=v_{1}(t)-v_2(t)=(a-b)t-ct^3[/math]

Per la seconda domanda devi calcolare la posizione dei due carrelli in funzione del tempo, integrando la velocita` (e facendo attenzione alla condizioni iniziali)


Per il primo carrello la condizione iniziale da imporre e` la posizione al tempo t=0,

[math]x_{1,0}=0[/math]

:

[math]x_1(t)=\frac{1}{2}at^2[/math]

Per il secondo carrello la posizione iniziale e`

[math]x_{2,0}=d[/math]

:

[math]x_2(t)=d+\frac{1}{2}bt^2+\frac{1}{4}ct^4[/math]

Bisogna determinare il tempo t_0 in cui

[math]x_1(t_0)=x_2(t_0)[/math]

:

[math]\frac{1}{2}at^2=d+\frac{1}{2}bt^2+\frac{1}{4}ct^4[/math]

[math]ct^4-2(a-b)t^2+4d=0[/math]

(avresti ottenuto la stessa equazione se avessi integrato direttamente la velocita` relativa calcolata in precedenza, con la condizione iniziale

[math]x'_0=-d[/math]

)

[math]t^2=\frac{(a-b)\pm\sqrt{(a-b)^2-4cd}}{c}[/math]

Tra le due soluzione ottenute scegliamo la piu` piccola (l'istante in cui si incontrano per la prima volta):

[math]t^2=3.47~ s^2[/math]

cioe`

[math]t_0=1.9[/math]

s


Il punto di incontro e` :

[math]x_1(t_0)=\frac{1}{2}at_0^2=0.87[/math]

m.