Oscillatore armonico con due blocchi sovrapposti con molla

[Fabien]

Buongiorno.

Sto risolvendo alcuni esercizi sugli oscillatori, metto la figura con il testo.

a) Affinchè la massa m2 non scivoli, deve essere (studio le forze agenti sulla massa superiore m2, l'accelerazione è la stessa in entrambi le masse se m2 non scivoli su m1)

[math]m_2a_{max}\le\mu_s m_2 g[/math]

cioè

[math]a_{max}\le \mu_s g[/math]

ma dalle equazioni del moto armonico, l'accelerazione massima è dato da

[math]a_{max}=\omega^2 A[/math]

Conosco la frequenza delle oscillazioni e l'energia meccanica del sistema, se scrivo l'equazione differenziale legata alle due masse trovo che

[math]f=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{K}{m_1+m_2}}[/math]

dove ricavo K. Noto K ricavo l'ampiezza A dall'energia meccanica e quindi il minimo valore del coefficiente di attrito statico

[math]A\omega^2\le \mu_s g[/math]

ossia

[math]\mu_s\ge \frac{A\omega^2}{g}[/math]

b) Se tolgo la massa sicuramente cambia la frequenza e l'energia meccanica

[math]f'=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{K}{m_1}}[/math]

quindi f' aumenta, per l'energia meccanica devo ricalcolare l'ampiezza delle oscillazioni A'.
Per la seconda legge di Newton (non so se è corretto assumere l'accelerazione massima come nel caso precedente)

[math]-KA'=m_1a_{max}[/math]

dove

[math]a_{max}=-\omega^2 A[/math]

da cui

[math]A'=\frac{m_1}{K}\cdot \frac{K}{m_1+m_2}A=\frac{4}{5}A[/math]

e quindi

[math]E_{m}^{'}=\frac{1}{2}K(A^{'})^2=\frac{1}{2}K\frac{16}{25}A^2=\frac{16}{25}E_m[/math]

Non so se va bene....

[mc2]

Il punto a e` giusto.

Il punto b non lo capisco: se hai trovato una nuova frequenza (giusto!) perche' usi la vecchia omega per calcolare l'accelerazione? Che senso ha?

Devo dire che il testo del problema non e` il massimo della chiarezza, ma secondo me l'interpretazione piu` sensata da dare e`: togli la massa m_2 ed il sistema continua ad oscillare con la stessa ampiezza ma ad una frequenza diversa (immagina di togliere m_2 quando si trova nel punto di massima elongazione o compressione).

Quindi non devi calcolare la nuova ampiezza, ma usare quella vecchia, ed hai subito la nuova energia eccetera.

Aggiunto 27 minuti più tardi:

Ho fatto un calcolo di controllo e confermo: il testo del problema DEVE specificare quando si toglie la massa m_2, altrimenti il risultato cambia.
L'ipotesi piu` semplice e` di toglierla quando il sistema e` nel punto di massima elongazione o compressione della molla, e allora l'ampiezza resta uguale a quella iniziale.

Se chi ha scritto il problema non intendeva questo, allora doveva essere piu` chiaro nel formularlo.