Moto circolare uniforme
Buonasera,
come dovrei procedere per risolvere questo problema?
Un punto materiale si muove di moto circolare uniforme sulla circonferenza di equazione 4x^2+4y^2+16x-4y+13=0.Il periodo di moto è T=4s
a.Calcola il modulo della velocità istantanea.
b.Determina l'equazione della direzione del vettore velocità nel punto di coordinate A(-1;1/2).
Ho calcolato le coordinate del centro e il raggio ma come proseguo?
Grazie mille in anticipo e perdonate il disturbo
come dovrei procedere per risolvere questo problema?
Un punto materiale si muove di moto circolare uniforme sulla circonferenza di equazione 4x^2+4y^2+16x-4y+13=0.Il periodo di moto è T=4s
a.Calcola il modulo della velocità istantanea.
b.Determina l'equazione della direzione del vettore velocità nel punto di coordinate A(-1;1/2).
Ho calcolato le coordinate del centro e il raggio ma come proseguo?
Grazie mille in anticipo e perdonate il disturbo
Risposte
Data un circonferenza di centro
espressa tramite l'equazione cartesiana
equivalentemente, può essere parametrizzata in maniera naturale come segue:
Dal momento in cui un punto materiale si muove di moto circolare uniforme significa che
e
Ebbene, il modulo della velocità istantanea risulta pari a
che nel caso specifico equivale a
Infine, notando che nel caso specifico il punto
ossia per
le equazioni parametriche della retta passante per
cartesiana risulta essere pari ad
Vedi se riesci a far quadrare un po' tutto. :)
[math]C(x_c,\,y_c)[/math]
e raggio [math]R > 0[/math]
, essa può essere espressa tramite l'equazione cartesiana
[math](x - x_c)^2 + (y - y_c)^2 = R^2[/math]
oppure, equivalentemente, può essere parametrizzata in maniera naturale come segue:
[math](x,\,y) = \mathbf{r}(\theta) := \left(x_c + R\,\cos\theta, \; y_c + R\,\sin\theta\right)[/math]
per [math]\theta \in [0,\,2\pi)\\[/math]
.Dal momento in cui un punto materiale si muove di moto circolare uniforme significa che
[math]\theta = \omega\,t[/math]
, dove [math]\omega := \frac{2\pi}{T}[/math]
con [math]T[/math]
il periodo (ossia il tempo per compiere un giro)e
[math]t \in [0,\,+\infty)[/math]
il tempo; ne consegue che [math]\small \mathbf{r}'(t) = \omega\,R\left(-\sin(\omega\,t), \; \cos(\omega\,t)\right)\\[/math]
.Ebbene, il modulo della velocità istantanea risulta pari a
[math]\small v := \left|\mathbf{r}'(t)\right| = \omega\,R = \frac{2\pi R}{T}[/math]
, che nel caso specifico equivale a
[math]v = \frac{\pi}{2}\frac{m}{s}\\[/math]
.Infine, notando che nel caso specifico il punto
[math]A(x_a,\,y_a)[/math]
è ottenibile per [math]\theta = 0[/math]
, ossia per
[math]t = 0[/math]
, segue che [math]\small \mathbf{r}'(0) = (0,\,\omega\,R) = (0,\,v) = \left(0,\,\frac{\pi}{2}\right)[/math]
. Dunque, le equazioni parametriche della retta passante per
[math]A[/math]
e di direzione [math]\mathbf{r}'(0)[/math]
sono [math](x,\,y) = \left(x_a+0\,u, \, y_a+\frac{\pi}{2}u\right)[/math]
per [math]u \in \mathbb{R}[/math]
, ossia la propria equazione cartesiana risulta essere pari ad
[math]x = x_a\\[/math]
.Vedi se riesci a far quadrare un po' tutto. :)
Cosa indica precisamente la lettera greca omega?
Alla trigonometria non è dedicato alcun capitolo specifico del mio testo, quindi dovrei procedere diversamente? Cosa dovrei studiare per applicare quelle formule che hai scritto? Scusa per l'ignoranza e grazie mille per l'aiuto:)
Alla trigonometria non è dedicato alcun capitolo specifico del mio testo, quindi dovrei procedere diversamente? Cosa dovrei studiare per applicare quelle formule che hai scritto? Scusa per l'ignoranza e grazie mille per l'aiuto:)
In realtà "ho tentato il colpo" conscio del fatto che tale approccio lo si adotti
quasi esclusivamente nei corsi di laurea e raramente in qualche liceo scientifico.
Quindi, ecco, sopra ti ho mostrato come si possono fare quei conti da un punto
di vista prettamente matematico, analitico, mentre adesso cerco di spiegartela in
maniera altrettanto completa ma meno formale (e forse più fisica).
Innanzitutto è ben graficare il fenomeno in esame:
Oltre alla circonferenza in oggetto ho disegnato in rosso i raggi vettori, ossia
delle frecce che seguono passo-passo il nostro punto materiale che partito in A
si muove su tale circonferenza (dunque di moto circolare) in senso antiorario.
Notevoli sono almeno due fatti: il centro è fisso ed ha coordinate
così come è costante la lunghezza del raggio vettore:
Ora, come dovrebbe essere evidente, dopo un certo tempuscolo
vettore non è più in posizione orizzontale: in tale lasso di tempo il nostro punto
materiale ha percorso uno arco di circonferenza
angolo
zato e il tempo:
spazzato e il tempo:
Non è tutto. Il moto circolare in esame non è qualsiasi, bensì è uniforme, ossia il
nostro punto materiale per compiere un giro impiega sempre lo stesso tempo
che prende il nome di periodo, e i raggi vettori sono sempre perpendicolari alla
velocità (periferica). Ciò implica che i moduli delle velocità sopra definite sono co-
stanti, ossia non variano al passare del tempo. Quindi, rispettivamente, la velocità
angolare sarà pari ad un angolo giro (che in radianti equivale a 2π) diviso il periodo:
diviso il periodo:
Fine. Con questi concetti ed osservando per bene il disegno di cui sopra
sarai in grado di risolvere il problema proposto in un batter d'occhio. ;)
quasi esclusivamente nei corsi di laurea e raramente in qualche liceo scientifico.
Quindi, ecco, sopra ti ho mostrato come si possono fare quei conti da un punto
di vista prettamente matematico, analitico, mentre adesso cerco di spiegartela in
maniera altrettanto completa ma meno formale (e forse più fisica).
Innanzitutto è ben graficare il fenomeno in esame:
Oltre alla circonferenza in oggetto ho disegnato in rosso i raggi vettori, ossia
delle frecce che seguono passo-passo il nostro punto materiale che partito in A
si muove su tale circonferenza (dunque di moto circolare) in senso antiorario.
Notevoli sono almeno due fatti: il centro è fisso ed ha coordinate
[math]C\left(-2,\,\frac{1}{2}\right)[/math]
,così come è costante la lunghezza del raggio vettore:
[math]\left|\vec{r}(t)\right| := R = 1\\[/math]
.Ora, come dovrebbe essere evidente, dopo un certo tempuscolo
[math]\delta t[/math]
il raggio vettore non è più in posizione orizzontale: in tale lasso di tempo il nostro punto
materiale ha percorso uno arco di circonferenza
[math]\delta s[/math]
, a cui corrisponde un angolo
[math]\delta\theta[/math]
. Si definiscono velocità angolare il rapporto tra l'angolo spaz-zato e il tempo:
[math]\omega := \frac{\delta\theta}{\delta t}[/math]
e velocità (periferica) il rapporto tra l'archetto spazzato e il tempo:
[math]v := \frac{\delta s}{\delta t}\\[/math]
, rappresentata dalle frecce colorate in verde.Non è tutto. Il moto circolare in esame non è qualsiasi, bensì è uniforme, ossia il
nostro punto materiale per compiere un giro impiega sempre lo stesso tempo
[math]T[/math]
, che prende il nome di periodo, e i raggi vettori sono sempre perpendicolari alla
velocità (periferica). Ciò implica che i moduli delle velocità sopra definite sono co-
stanti, ossia non variano al passare del tempo. Quindi, rispettivamente, la velocità
angolare sarà pari ad un angolo giro (che in radianti equivale a 2π) diviso il periodo:
[math]\omega = \frac{2\pi}{T}[/math]
, mentre la velocità (periferica) sarà pari alla lunghezza della circonferenza diviso il periodo:
[math]v = \frac{2\pi R}{T}[/math]
. Confrontando le due formulette segue che [math]v = \omega\,R\\[/math]
.Fine. Con questi concetti ed osservando per bene il disegno di cui sopra
sarai in grado di risolvere il problema proposto in un batter d'occhio. ;)
Grazie mille:)
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