Esercizio sull'energia (217711)
All'istante t0 una molla con costante elastica k=100N/m è compressa di dx=0.3m rispetto al suo punto di riposo e trova davanti a sé un oggetto di dimensioni trascurabili e massa m=0.5Kg. La molla spara l'oggetto trasferendo in esso tutta la propria energia. L'oggetto prima passa su un piano rettilineo di lunghezza d = 0.1 m con coefficiente d'attrito μ=0.3 e poi sale per un piano inclinato privo di attrito con altezza massima h=0.3m e alzo θ=50°.
Si calcoli l'altezza massima raggiunta dall'oggetto dopo il volo.
L'alzo θmax che massimizza la distanza raggiunta.
Si calcoli l'altezza massima raggiunta dall'oggetto dopo il volo.
L'alzo θmax che massimizza la distanza raggiunta.
Risposte
Quando il corpo si stacca dalla molla la sua velocita` e` v_0, e si calcola con la conservazione dell'energia:
Nel percorrere il piano con attrito l'energia cinetica diminuisce, a causa del lavoro di attrito. La velocita` dopo il tratto d e` v_1:
Lungo il piano inclinato non c'e` attrito e vale la conservazione dell'energia. Ad altezza h la velocita` e` v_2:
Dopo aver lasciato il piano inclinato il corpo prosegue in un moto di caduta libera, con traiettoria parabolica
La velocita` iniziale e` v2, con componenti orizzontale e verticale:
Nel punto di altezza massima H la velocita` v_3 del corpo e` diretta orizzontalmente (la componente verticale si annulla, mentre quella orizzontale e` sempre costante).
In modulo si ha quindi
Si puo` ricavare H usando la conservazione dell'energia:
Per calcolare la distanza massima raggiunta scriviamo le leggi orarie del moto:
Eliminando il tempo si ottiene la traiettoria:
Con y=0 e risolvendo rispetto a x si ottiene la distanza di caduta (ci interessa solo la soluzione positiva):
Calcolando la derivata rispetto a theta si trova l'angolo per cui la gittata e` massima (se h fosse 0, sarebbe 45 gradi, ma qui e` diverso). Conviene risolvere l'equazione con un metodo grafico.
[math]\frac{1}{2}k (\Delta x)^2=\frac{1}{2}mv_0^2[/math]
[math]v_0=\Delta x \sqrt{\frac{k}{m}}=4,24[/math]
m/sNel percorrere il piano con attrito l'energia cinetica diminuisce, a causa del lavoro di attrito. La velocita` dopo il tratto d e` v_1:
[math]\frac{1}{2}mv_1^2=\frac{1}{2}mv_0^2-\mu m g d[/math]
[math]v_1=\sqrt{v_0^2-2\mu g d}=4,17[/math]
m/sLungo il piano inclinato non c'e` attrito e vale la conservazione dell'energia. Ad altezza h la velocita` e` v_2:
[math]\frac{1}{2}mv_1^2=\frac{1}{2}mv_2^2+mgh[/math]
[math]v_2=\sqrt{v_1^2-2gh}=3,40[/math]
m/sDopo aver lasciato il piano inclinato il corpo prosegue in un moto di caduta libera, con traiettoria parabolica
La velocita` iniziale e` v2, con componenti orizzontale e verticale:
[math]v_{x}=v_2\cos\theta=[/math]
costante[math]v_{y}=v_2\sin\theta-gt[/math]
Nel punto di altezza massima H la velocita` v_3 del corpo e` diretta orizzontalmente (la componente verticale si annulla, mentre quella orizzontale e` sempre costante).
In modulo si ha quindi
[math]v_3=v_2\cos\theta[/math]
.Si puo` ricavare H usando la conservazione dell'energia:
[math]\frac{1}{2}mv_2^2+mgh=\frac{1}{2}mv_3^2+mgH[/math]
[math]H=h+\frac{v_2^2-v_3^2}{2g}=0,65[/math]
mPer calcolare la distanza massima raggiunta scriviamo le leggi orarie del moto:
[math]x(t)=v_x t=v_2\cos\theta\, t[/math]
[math]y(t)=h+v_2\sin\theta\, t-\frac{1}{2}gt^2[/math]
Eliminando il tempo si ottiene la traiettoria:
[math]t=\frac{x}{v_2\cos\theta}[/math]
[math]y=h+\tan\theta x-\frac{gx^2}{2v_2^2\cos^2\theta}[/math]
Con y=0 e risolvendo rispetto a x si ottiene la distanza di caduta (ci interessa solo la soluzione positiva):
[math]x=\frac{1}{g}\left[v_2^2\sin\theta\cos\theta+\sqrt{v_2^4\sin^2\theta\cos^2\theta+2ghv_2^2\cos^2\theta}\right]=[/math]
[math]=\frac{v_2^2}{g}\cos\theta\left[\sin\theta+\sqrt{\sin^2\theta+\frac{2gh}{v_2^2}}\right][/math]
Calcolando la derivata rispetto a theta si trova l'angolo per cui la gittata e` massima (se h fosse 0, sarebbe 45 gradi, ma qui e` diverso). Conviene risolvere l'equazione con un metodo grafico.