Esercizio sull'energia (217711)

[lavagna4321]

All'istante t0 una molla con costante elastica k=100N/m è compressa di dx=0.3m rispetto al suo punto di riposo e trova davanti a sé un oggetto di dimensioni trascurabili e massa m=0.5Kg. La molla spara l'oggetto trasferendo in esso tutta la propria energia. L'oggetto prima passa su un piano rettilineo di lunghezza d = 0.1 m con coefficiente d'attrito μ=0.3 e poi sale per un piano inclinato privo di attrito con altezza massima h=0.3m e alzo θ=50°.
Si calcoli l'altezza massima raggiunta dall'oggetto dopo il volo.
L'alzo θmax che massimizza la distanza raggiunta.

[mc2]

Quando il corpo si stacca dalla molla la sua velocita` e` v_0, e si calcola con la conservazione dell'energia:

[math]\frac{1}{2}k (\Delta x)^2=\frac{1}{2}mv_0^2[/math]

[math]v_0=\Delta x \sqrt{\frac{k}{m}}=4,24[/math]

m/s

Nel percorrere il piano con attrito l'energia cinetica diminuisce, a causa del lavoro di attrito. La velocita` dopo il tratto d e` v_1:

[math]\frac{1}{2}mv_1^2=\frac{1}{2}mv_0^2-\mu m g d[/math]

[math]v_1=\sqrt{v_0^2-2\mu g d}=4,17[/math]

m/s


Lungo il piano inclinato non c'e` attrito e vale la conservazione dell'energia. Ad altezza h la velocita` e` v_2:

[math]\frac{1}{2}mv_1^2=\frac{1}{2}mv_2^2+mgh[/math]

[math]v_2=\sqrt{v_1^2-2gh}=3,40[/math]

m/s


Dopo aver lasciato il piano inclinato il corpo prosegue in un moto di caduta libera, con traiettoria parabolica

La velocita` iniziale e` v2, con componenti orizzontale e verticale:

[math]v_{x}=v_2\cos\theta=[/math]

costante

[math]v_{y}=v_2\sin\theta-gt[/math]

Nel punto di altezza massima H la velocita` v_3 del corpo e` diretta orizzontalmente (la componente verticale si annulla, mentre quella orizzontale e` sempre costante).
In modulo si ha quindi

[math]v_3=v_2\cos\theta[/math]

.

Si puo` ricavare H usando la conservazione dell'energia:

[math]\frac{1}{2}mv_2^2+mgh=\frac{1}{2}mv_3^2+mgH[/math]

[math]H=h+\frac{v_2^2-v_3^2}{2g}=0,65[/math]

m

Per calcolare la distanza massima raggiunta scriviamo le leggi orarie del moto:

[math]x(t)=v_x t=v_2\cos\theta\, t[/math]

[math]y(t)=h+v_2\sin\theta\, t-\frac{1}{2}gt^2[/math]

Eliminando il tempo si ottiene la traiettoria:

[math]t=\frac{x}{v_2\cos\theta}[/math]

[math]y=h+\tan\theta x-\frac{gx^2}{2v_2^2\cos^2\theta}[/math]

Con y=0 e risolvendo rispetto a x si ottiene la distanza di caduta (ci interessa solo la soluzione positiva):

[math]x=\frac{1}{g}\left[v_2^2\sin\theta\cos\theta+\sqrt{v_2^4\sin^2\theta\cos^2\theta+2ghv_2^2\cos^2\theta}\right]=[/math]

[math]=\frac{v_2^2}{g}\cos\theta\left[\sin\theta+\sqrt{\sin^2\theta+\frac{2gh}{v_2^2}}\right][/math]

Calcolando la derivata rispetto a theta si trova l'angolo per cui la gittata e` massima (se h fosse 0, sarebbe 45 gradi, ma qui e` diverso). Conviene risolvere l'equazione con un metodo grafico.