Esercizio sui corpi rigidi - Disco sopra un blocco

[Fabien]

Buongiorno.

Ho un esercizio sui corpi rigidi, riporto il testo.

Un blocco di massa

[math]M = 20 \ kg[/math]

scorre su di un piano orizzontale privo di attrito spinto da una molla di costante elastica

[math]k = 100 \ \frac{N}{m}[/math]

con estremo O fisso rispetto al piano e sopra il blocco è appoggiato un disco di massa

[math]m = 10 \ kg[/math]

e di raggio

[math]R=0.2 \ m[/math]

dove il centro C è mantenuto fermo rispetto al piano da un filo teso orizzontale.
All'istante iniziale il blocco e il disco sono fermi e la molla è compressa dalla lunghezza

[math]\Delta x=0.25 \ m[/math]

. Nel moto successivo il disco ruota intorno al punto fisso C senza strisciare.
Determinare all'istante iniziale:
a) l'accelerazione del blocco;
b) la tensione del filo;
All'istante in cui la molla assume la lunghezza di riposo, il blocco urta in modo completamente anelastico un fermo posto sul piano. Determinare:
c) la velocità del blocco subito prima dell'urto;
d) la velocità angolare del disco subito dopo l'urto;
e) il tempo al quale avviene l'urto rispetto all'istante iniziale t=0.

[mc2]

Sul blocco agiscono la forza elastica F_el (che spinge verso destra) e la forza di attrito con il disco (diretta verso sinistra).

Indico con x la deformazione della molla

Eq. Moto per il blocco:

[math]Ma=F_{el}-f_a=-kx-f_a[/math]

(nota che x

[Fabien]

Ho svolto il sistema e mi risulta

[math]T=5 \ N[/math]

e

[math]a=1 \ \frac{m}{s^2}[/math]

tenendo conto che il segno meno viene eliminato perchè

[math]x[/math]

è negativo.

Il punto c) e d) potrei fare ausilio delle equazioni cardinali, tenendo conto che la molla è a riposo e quindi sparisce la forza elastica, da questo punto quindi la massa

[math]M[/math]

ha una velocità iniziale

[math]v_0[/math]

:

[math]M\ \frac{dv}{dt}=-f_a[/math]

da cui ricavo:

[math]dv=-\frac{f_a}{M}dt[/math]

Integro entrambi i membri:

[math]\int_{v_0}^{v}dv=-\int_{0}^{t}\frac{f_a}{M}dt[/math]

ottengo

[math]v(t)=v_0-\frac{f_a}{M}t [/math]

Prima dell'urto la velocità

[math]v[/math]

è nulla e il tempo

[math]t[/math]

è il tempo che impiega la massa

[math]M[/math]

dal punto in cui la molla è a riposo (la massa ha velocità

[math]v_0[/math]

) fino al punto in cui arriva ad urtare il fermo.

Lo stesso procedimento vale per la velocità angolare del disco:

[math]I\frac{d\omega}{dt}=f_a R[/math]

Se integro ottengo

[math]\omega=\omega_0+\frac{2f_a}{M}t[/math]

Pensavo in alternativa di calcolare la velocità del blocco prima dell'urto di utilizzare il teorema del lavoro delle forze di attrito ma non so se è una buona idea, nell'urto utilizzerei la conservazione del momento angolare per calcolare la velocità angolare del disco dopo l'urto.

e) Credo sia una diretta conseguenza dei punti c e d con tempo iniziale calcolato dal momento in cui la molla è a riposo fino al tempo in cui la massa urti il fermo.

[mc2]

Giusta l'accelerazione e la tensione.

Ma il resto del problema e` completamente sbagliato, e non riesco neanche a capire che ragionamento hai fatto...

Se hai risolto i punti a e b hai trovato l'equazione del moto:

[math]\frac{d^2 x}{dt^2}=-\frac{k}{M+\frac{m}{2}}x=-\omega^2 x[/math]

con

[math]\omega=\sqrt{\frac{k}{M+\frac{m}{2}}}[/math]

Quando hai l'equazione di un moto armonico semplice, l'unica cosa da fare e` risolverla! Con le condizioni iniziali :

[math]x(0)=\Delta x[/math]

,

[math]{v_0}=\frac{dx}{dt}(0)=0[/math]

la soluzione e`:

[math]x(t)=\Delta x\cos\omega t[/math]

La posizione di riposo della molla e` x=0, e questo avviene nell'istante

[math]t_1[/math]

in cui:

[math]\cos\omega t_1=0[/math]

cioe`

[math]t_1=\pi/2\omega[/math]

.

In questo istante la velocita` e`:

[math]v(t_1)=-\omega\Delta x \sin(\omega t_1)=-\omega\Delta x [/math]

e non e` affatto zero!!! Che ragionamento hai fatto per trovare che la velocita` prima dell'urto e` zero proprio non lo capisco.


Subito dopo l'urto il blocco e` fermo, ma il disco non urta il blocco. Subito prima dell'urto la sua velocita` angolare e`

[math]\Omega_1=v_1/R[/math]

in senso antiorario. Quando il blocco si ferma il disco prosegue rotolando verso sinistra con questa velocit\`a (il filo si allenta).

[Fabien]

Ho sbagliato approccio (completamente) nella seconda parte dell'esercizio...

Quindi se non erro, al punto c) ho una velocità (il segno meno sparisce in quanto la deformazione della molla è negativa)

[math]v(t_1)=0.5 \ \frac{m}{s}[/math]

prima dell'urto per quanto riguarda il blocco.
Al punto d) per il disco la velocità angolare prima e dopo l'urto è

[math]\Omega_1=2.5 \ \frac{rad}{s}[/math]

verso sinistra, la ruota gira in senso antiorario.
Il punto e) il tempo in cui avviene l'urto è al tempo

[math]t_1=\frac{\pi}{2\omega}=0.785 \ s[/math]

con pulsazione

[math]\omega=2 \ \frac{rad}{s}[/math]

.

----
In alternativa potevo ragionare con la conservazione dell'energia meccanica?

Mi spiego meglio, al tempo

[math]t_1[/math]

quando la molla è a riposo il blocco si muove a velocità

[math]v_1=v(t_1)[/math]

e il disco ad una velocità

[math]\Omega_1[/math]

, questà è l'energia cinetica finale. Quella iniziale, cioè al tempo

[math]t=0[/math]

l'energia cinetica è nulla in quanto il sistema è fermo e l'energia potenziale è solo elastica, quindi

[math](E_{cf}+U_f)-(E_{ci}+U_i)=0[/math]

Sostituendo trovo

[math](\frac{1}{2}Mv_1^2+\frac{1}{2}I\Omega_1^2)-(\frac{1}{2}k\Delta x^2)=0[/math]

Tenendo conto che

[math]v_1=v(t_1)=\Omega_1 R[/math]

, ricavo (prendendo il segno meno quando si estrae la radice):

[math]v_1=-\Delta x\cdot \sqrt{\frac{k}{M+\frac{1}{2}m}}[/math]

cioè lo stesso risultato svolgendo l'equazione differenziale.

[mc2]

Ora e` giusto. Anche la soluzione alternativa va bene, perche' l'attrito che fa rotolare il disco non compie lavoro.