Esercizio dubbio sulla potenza e forza dovuta all'aria
Buongiorno, ho un esercizio dubbio sulla potenza, riporto il testo:
Una vettura di massa M=650 kg raggiunge i 95 km/h in 6 s con a bordo un pilota di massa m=65 kg. Se il pilota carica un passeggero di peso uguale al proprio e se non cambia la potenza media del motore, determinare (trascurando gli attriti):
a) la nuova velocità raggiunta dopo 6 s;
Consideriamo ora che la resistenza dell'aria secondo la legge R=Kv con K=35 kg/s e il solo pilota a bordo. Facendo l'ipotesi che la forza del motore rimanga costante e uguale al primo caso, determinare:
b) la nuova velocità dopo 6 s;
c) la potenza media sviluppata nei primi 6 s;
N.B: Si può considerare l'accelerazione costante nell'intervallo in questione e la forza di attrito media
------------
Per il punto a),il lavoro fatto dal motore è data dal teorema del lavoro-energia cinetica
Se la potenza non cambia sia prima che dopo la salita del passeggero, dalla definizione di potenza, sia
Imponendo che il lavoro
Quindi essendo
da cui
b) La seconda parte dell'esercizio c'è in gioco la forza di attrito dovuta all'aria, quindi se ci si mette nel caso precedente, la vettura è soggetta alla forza di attrito che si oppone al moto, quindi
da cui si ottiene l'equazione differenziale
da cui
Integrando tra
quindi
Ricavo che
Ottengo che
Non so se è giusto il moto di procedere sia al punto a), che b).
Per il punto c), non so se conviene utilizzare la formula classica
Una vettura di massa M=650 kg raggiunge i 95 km/h in 6 s con a bordo un pilota di massa m=65 kg. Se il pilota carica un passeggero di peso uguale al proprio e se non cambia la potenza media del motore, determinare (trascurando gli attriti):
a) la nuova velocità raggiunta dopo 6 s;
Consideriamo ora che la resistenza dell'aria secondo la legge R=Kv con K=35 kg/s e il solo pilota a bordo. Facendo l'ipotesi che la forza del motore rimanga costante e uguale al primo caso, determinare:
b) la nuova velocità dopo 6 s;
c) la potenza media sviluppata nei primi 6 s;
N.B: Si può considerare l'accelerazione costante nell'intervallo in questione e la forza di attrito media
[math]R=-Kv_{media}[/math]
------------
Per il punto a),il lavoro fatto dal motore è data dal teorema del lavoro-energia cinetica
[math]L_1=\frac{1}{2}(M+m)v^2[/math]
Se la potenza non cambia sia prima che dopo la salita del passeggero, dalla definizione di potenza, sia
[math]t_1=6 \ s[/math]
il tempo trascorso quando la vettura raggiunge la velocità [math]v=95 \ \frac{km}{h}[/math]
, il motore della vettura avrà prodotto un lavoro [math]L_1[/math]
, denoto ora il tempo [math]t_2=6 \ s[/math]
il tempo tracorso alla vettura di raggiungere la nuova velocità [math]v_f[/math]
, il motore avrà prodotto un lavoro pari a [math]L_2[/math]
, lo stesso di [math]L_1[/math]
, infatti[math]P=\frac{L_1}{t_1}=\frac{L_2}{t_2}[/math]
Imponendo che il lavoro
[math]L_2[/math]
, dopo la salita del passeggero valga, sempre per il teorema del lavoro-energia cinetica[math]L_2=\frac{1}{2}(M+2m)v_f^2[/math]
Quindi essendo
[math]L_1=L_2[/math]
, si trova[math]\frac{1}{2}(M+m)v^2=\frac{1}{2}(M+2m)v_f^2[/math]
da cui
[math]v_f=v\sqrt{\frac{M+m}{M+2m}}[/math]
b) La seconda parte dell'esercizio c'è in gioco la forza di attrito dovuta all'aria, quindi se ci si mette nel caso precedente, la vettura è soggetta alla forza di attrito che si oppone al moto, quindi
[math]-F=(M+m)a[/math]
da cui si ottiene l'equazione differenziale
[math]-Kv=(M+m)\frac{dv}{dt}[/math]
da cui
[math]\frac{dv}{v}=-\frac{K}{M+m}dt[/math]
Integrando tra
[math]v \in [v_i,v_f][/math]
e [math]t\in[0,6][/math]
, dove [math]v_i=95 \ \frac{km}{h}[/math]
si ottiene:[math]\int_{v_i}^{v_f}\frac{dv}{v}=-\int_{0}^{6}\frac{K}{M+m}dt[/math]
quindi
[math]\log(\frac{v_f}{v_i})=-\frac{6K}{M+m}[/math]
Ricavo che
[math]v_f=v_i\cdot e^{-\frac{6K}{M+m}}[/math]
Ottengo che
[math]v_f=70.2 \ \frac{km}{h}[/math]
Non so se è giusto il moto di procedere sia al punto a), che b).
Per il punto c), non so se conviene utilizzare la formula classica
[math]P=Fv_{media}[/math]
, visto che dice nel nota bene che l'accelerazione si può ritenere costante....
Risposte
Il punto a va bene.
Il punto b e` sbagliato.
L'attrito dell'aria c'e` sempre, dall'inizio alla fine: tu l'hai considerato solo nella parte finale! Anche il motore funziona sempre, invece tu l'hai considerato solo nella parte iniziale!
In pratica tu hai il motore che spinge la macchina fino a raggiungere una certa velocita` poi si spegne e contemporaneamente si accende l'attrito (che prima non c'era!). Infatti la tua velocita` tende esponenzialmente a zero.
Tu devi considerare la macchina che parte da ferma con il motore che spinge e contemporaneamente l'attrito che cerca di frenarla!
Dovrai trovare un risultato con una velocita` che tende ad un valore costante (ma non zero) per t infinito .
PS: il suggerimento di considerare la velocita` media secondo me non ha senso, lascia perdere e risolvi l'eq. differenziale cosi` com'e`.
Il punto b e` sbagliato.
L'attrito dell'aria c'e` sempre, dall'inizio alla fine: tu l'hai considerato solo nella parte finale! Anche il motore funziona sempre, invece tu l'hai considerato solo nella parte iniziale!
In pratica tu hai il motore che spinge la macchina fino a raggiungere una certa velocita` poi si spegne e contemporaneamente si accende l'attrito (che prima non c'era!). Infatti la tua velocita` tende esponenzialmente a zero.
Tu devi considerare la macchina che parte da ferma con il motore che spinge e contemporaneamente l'attrito che cerca di frenarla!
[math](M+m)a=F_{mot}-F_{attr}[/math]
Dovrai trovare un risultato con una velocita` che tende ad un valore costante (ma non zero) per t infinito .
PS: il suggerimento di considerare la velocita` media secondo me non ha senso, lascia perdere e risolvi l'eq. differenziale cosi` com'e`.
Ho ottenuto l'equazione differenziale
cioè
da cui integrando entrambi i membri
Integrando a sinistra tra 0 e v e a destra tra 0 e t si ricava:
quindi ricavo la velocità:
Il problema è che per
[math](M+m)\frac{dv}{dt}=F_{mot}-Kv[/math]
cioè
[math](M+m)\frac{dv}{F_{mot}-Kv}=dt[/math]
da cui integrando entrambi i membri
[math]\int (M+m)\frac{dv}{F_{mot}-Kv}=\int dt[/math]
Integrando a sinistra tra 0 e v e a destra tra 0 e t si ricava:
[math]-\frac{(M+m)\cdot \log(Kv-F_{mot})}{k}=t[/math]
quindi ricavo la velocità:
[math]v(t)=\frac{1}{k}e^{-\frac{kt}{M+m}}+\frac{F_ {mot}}{k}[/math]
Il problema è che per
[math]t>0[/math]
la velocità tende sempre [math]v=\frac{F_ {mot}}{k}[/math]
...
Sbagli il calcolo dell'integrale.
Eccetera.
Il limite per t infinito della velocita` deve essere
[math](M+m)\int\limits_0^v\frac{dv'}{F_{mot}-Kv'}=t[/math]
[math]t=(M+m)\left[-\frac{1}{K}\log({F_{mot}-Kv'})\right]_{v'=0}^{v'=v}=
-\frac{(M+m)}{K}\log\frac{F_{mot}-Kv}{F_{mot}}
[/math]
-\frac{(M+m)}{K}\log\frac{F_{mot}-Kv}{F_{mot}}
[/math]
Eccetera.
Il limite per t infinito della velocita` deve essere
[math]v_{lim}=F_{mot}/K[/math]
perche` e` quella che annulla l'accelerazione nell'equazione del moto.
Ho ricontrollato il calcolo e viene fuori l'espressione
quindi la condizione v(0)=0 è ovviamente verificata, per trovare ora la forza del motore devo considerare nel testo al tempo
---
Il punto c) chiede quindi di calcolare la potenza nei primi 6 secondi, quindi noto
Cioè devo calcolare:
con
[math]v(t)=\frac{F_{mot}}{k}(1-e^{-\frac{k}{M+m}t}) \quad (*)[/math]
quindi la condizione v(0)=0 è ovviamente verificata, per trovare ora la forza del motore devo considerare nel testo al tempo
[math]t_1=6 s[/math]
la condizione [math]v(6)=95 \ \frac{km}{h}[/math]
per determinare [math]F_{mot}[/math]
e, se ho capito bene, chiede la nuova velocità dopo altri 6 secondi, cioè devo calcolare v(12) dalla soluzione dell'equazione differenziale.---
Il punto c) chiede quindi di calcolare la potenza nei primi 6 secondi, quindi noto
[math]F_{mot}[/math]
al punto b) che è costante e noto [math]v(6)[/math]
calcolo la potenza richiesta. Giusto? Cioè devo calcolare:
[math]P(6)=F_{mot}v(6)[/math]
con
[math]v(6)[/math]
valutato dalla relazione scritta in (*).
No, rileggi bene il testo. La forza del motore e` sempre la stessa, quella che hai calcolato nel punto a.
Ora devi usare quel risultato per calcolare quale sara` la velocita` dopo i primi 6 secondi (dovra` essere minore di 95 km/h).
Ora devi usare quel risultato per calcolare quale sara` la velocita` dopo i primi 6 secondi (dovra` essere minore di 95 km/h).
b) Dal punto a) il lavoro
con v = 95 km/h.
Dalla definizione di potenza, con t=6 s, si ha
ossia:
Ricavo la forza del motore:
Dall'espressione ottenuta dall'equazione differenziale:
che al tempo t=6 si ottiene
c) La potenza richiesta nei primi 6 secondi è quindi
dove la velocità deve essere valutata in m/s.
[math]L_1[/math]
era[math]L_1=\frac{1}{2}(M+m)v^2[/math]
con v = 95 km/h.
Dalla definizione di potenza, con t=6 s, si ha
[math]P=\frac{L_1}{t}=F_{mot}\cdot v[/math]
ossia:
[math]\frac{\frac{1}{2}(M+m)v^2}{t}=F_{mot}\cdot v[/math]
Ricavo la forza del motore:
[math]F_{mot}=\frac{\frac{1}{2}(M+m)v}{t}=1572 \ N[/math]
Dall'espressione ottenuta dall'equazione differenziale:
[math]v(t)=\frac{F_{mot}}{k}(1-e^{-\frac{k}{M+m}t})[/math]
che al tempo t=6 si ottiene
[math]v(6)=41.16 \ \frac{km}{h}[/math]
c) La potenza richiesta nei primi 6 secondi è quindi
[math]P=F_{mot}\cdot v(6)=18 kW \quad \mbox{dove} \ \ F_{mot}=1576 \ N \quad \mbox{e} \quad v(6)=41.16 \ \frac{km}{h}[/math]
dove la velocità deve essere valutata in m/s.
Ma hai scritto tu stesso:
Usa la prima formula che hai scritto, che e` la piu` semplice:
[math]P=\frac{L_1}{t}=F_{mot}\cdot v[/math]
e la v che ci va qui e` quella MEDIA (che non conosci), non la v al tempo t=6 secondi!!!Usa la prima formula che hai scritto, che e` la piu` semplice:
[math]P=\frac{L_1}{t}[/math]
Quindi il punto c) è semplicemente
con v=95 km/h e t=6 s.
Non so se la b) va bene.
[math]P=\frac{L_1}{t}=\frac{\frac{1}{2}(M+m)v^2}{t}=41.5 kW[/math]
con v=95 km/h e t=6 s.
Non so se la b) va bene.
Ora va bene (anche la b)
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