Equazioni di Maxwell

[mimm8]

ciao, avrei bisogno di aiuto con questa dimostrazione:
"Usando i teoremi di Gauss ( teorema della divergenza) e di Stokes ( teorema del rotore), dimostrare come si ottengono le equazioni di Maxwell differenziali ( forma locale) dalle equazione espresse in forma integrale ( e viceversa)."
grazie. :thx

[mc2]

Legge di Gauss: il flusso del vettore

[math]\vec{E}[/math]

attraverso una superficie chiusa

[math]\Sigma[/math]

e` uguale alla carica elettrica racchiusa dalla superficie diviso

[math]\epsilon_0[/math]

:

[math]\int_\Sigma \vec{E}\cdot d\vec{S}=\frac{Q}{\epsilon_0}[/math]

La carica totale Q si puo` anche scrivere come integrale sul volume V (racchiuso da

[math]\Sigma[/math]

) della densita` di carica:

[math]\int_\Sigma \vec{E}\cdot d\vec{S}=\frac{Q}{\epsilon_0}=
\int_V\frac{\rho}{\epsilon_0}dV
[/math]

Al primo membro possiamo applicare il teorema della divergenza:

[math]\int_\Sigma \vec{E}\cdot d\vec{S}=\int_V\nabla\cdot\vec{E}~dV[/math]

Quindi si ha:

[math]\int_V\nabla\cdot\vec{E}~dV=\int_V\frac{\rho}{\epsilon_0}dV
[/math]

e siccome il volume V (cioe` la superficie

[math]\Sigma[/math]

) e` arbitrario si ha l'uguaglianza delle funzioni integrande:

[math]\nabla\cdot\vec{E}=\frac{\rho}{\epsilon_0}[/math]

Viceversa, dalla prima equazione di Maxwell

[math]\nabla\cdot\vec{E}=\frac{\rho}{\epsilon_0}[/math]

si calcola l'integrale di volume su un volume arbitrario V (delimitato da una superficie

[math]\Sigma[/math]

).

Il secondo membro da`

[math]\frac{Q}{\epsilon_0}[/math]

, nel primo membro applichi il teorema di Gauss in senso inverso a prima e riottieni la legge di Gauss.


Per la seconda equazione di Maxwell ripeti lo stesso procedimento: il secondo membro e` 0 perche' non ci sono monopoli magnetici, il che equivale a dire che il flusso di

[math]\vec{B}[/math]

attraverso una superficie chiusa qualsiasi e` sempre 0


Legge di Ampere-Maxwell: la circuitazione di

[math]\vec{B}[/math]

lungo una linea chiusa (arbitraria)

[math]\Gamma[/math]

e` uguale alla corrente totale concatenata moltiplicata per

[math]\mu_0[/math]

[math]\oint_\Gamma \vec{B}\cdot d\vec{l}=\mu_0 \,i[/math]

Anche in questo caso riscriviamo il secondo membro come integrale di superficie attraverso la superficie

[math]\Sigma[/math]

delimitata da

[math]\Gamma[/math]

, calcolando cioe` il flusso della densita` di corrente

[math]\vec{j}[/math]

attraverso la superficie. A primo membro applichiamo il teorema di Stokes e la circuitazione di

[math]\vec{B}[/math]

diventa il flusso di

[math]\nabla\times \vec{B}[/math]

attraverso la stessa superficie

[math]\Sigma[/math]

[math]\oint_\Gamma \vec{B}\cdot d\vec{l}=\int_\Sigma
\nabla\times \vec{B}\cdot d\vec{S}=\mu_0\int_\Sigma \vec{j}\cdot d\vec{S} [/math]

e per l'arbitrarieta` della linea chiusa

[math]\Gamma[/math]

si ha l'uguaglianza delle funzioni integrande:

[math]\nabla\times \vec{B}=\mu_0\,\vec{j}[/math]

La densita` di corrente a secondo membro e` la somma della densita` di corrente di conduzione

[math]\vec{j}_c[/math]

e di quella di spostamento:

[math]\vec{j}_s=\epsilon_0\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}[/math]

per cui in conclusione si ottiene la quarta equazione di Maxwell in forma differenziale:

[math]\nabla\times \vec{B}=\mu_0\,\vec{j}_c+\mu_0\epsilon_0\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}[/math]

Ripetendo gli stessi passaggi a ritroso riottieni la legge di Ampere-Maxwell


Per la terza eq. di Maxwell stesso procedimento: dalla forma integrale (legge di Lenz: la circuitazione di

[math]\vec{E}[/math]

lungo una linea chiusa e` uguale all'opposto della variazione del flusso del campo magnetico concatenato ad essa) ricavi quella differenziale e viceversa