Due masse collegate da due fili e una molla

[Fabien]

Ciao.

Sto risolvendo un esercizio, riporto il testo.

Su un piano orizzontale liscio sono appoggiati due corpi, di masse rispettivamente

[math]m_1[/math]

e

[math]m_2[/math]

. Il corpo

[math]m_2[/math]

è collegato alla parete A mediante una fune inestensibile di massa trascurabile. Tra

[math]m_1[/math]

e

[math]m_2[/math]

vi è una fune di lunghezza

[math]L[/math]

, anch'essa inestensibile e di massa trascurabile.
Il corpo

[math]m_1[/math]

è, a sua volta,collegato a una molla ideale di costante elastica

[math]k[/math]

che ha l'altro estremo collegato alla parete B.
Inizialmente tutto il sistema è in quiete e la molla è allungata di

[math]x_0[/math]

. Ad un certo istante viene tagliata la fune che collega

[math]m_2[/math]

alla parete.
Dati:

[math]m_1=1 \ kg[/math]

;

[math]m_2=3 \ kg[/math]

;

[math]k=100 \ \frac{N}{m}[/math]

;

[math]x_0=0.4 m[/math]

;

[math]L=0.8 m[/math]

.
Determinare:
a) le tensioni delle due funi prima che venga tagliata quella che collega

[math]m_2[/math]

alla parete;
b) la tensione della fune che collega

[math]m_1[/math]

e

[math]m_2[/math]

immediatamente dopo il taglio della fune;
c) il modulo della velocità di

[math]m_1[/math]

e

[math]m_2[/math]

quando la molla passa per la prima volta per la sua posizione di riposo;
d) la distanza fra

[math]m_1[/math]

e

[math]m_2[/math]

quando la molla si trova per la prima volta nello stato di massima compressione.
-----
La a), la b) e la c) li ho risolti senza particolari problemi.
Riporto comunque lo svolgimento per vedere se è corretto.
a) Dal diagramma delle forze, per la massa

[math]m_2[/math]

essa è soggetta alle tensioni delle due funi, quindi:

[math]-T_2+T_1=0[/math]

Per la massa

[math]m_1[/math]

si trova:

[math]-T_1+F_{el}=0[/math]

dove la molla inizialmente è allungata di

[math]x_0[/math]

. Suppongo che la molla abbia lunghezza di riposo nulla, quindi

[math]F_{el}=-k(-x_0-0)[/math]

, ricavo le tensioni delle funi

[math]T_1=T_2=kx_0=40 \ N[/math]

.
b) Ora viene tagiata la fune che collega la massa

[math]m_2[/math]

alla parete, quindi

[math]T_2[/math]

e il sistema si mette in moto, quindi le due masse sono soggette alla stessa accelerazione:
Per la massa

[math]m_2[/math]

si ha

[math]T_1=m_2a[/math]

per la massa

[math]m_1[/math]

[math]-T_1+kx_0=m_1a[/math]

Sommando membro a membro le due equazioni si ricava l'accelerazione:

[math]a=x_0\frac{k}{m_1+m_2}[/math]

Nota l'accelerazione

[math]a[/math]

trovo

[math]T_1[/math]

.
c) L'equazione è quella di un moto armonico semplice, dalla 2a di Newton si trova:

[math]-k(0-(-x))=(m_1+m_2)\frac{d^2x}{dt^2}[/math]

[math]\frac{d^2x}{dt^2}+\frac{k}{m_1+m_2}x=0[/math]

con condizioni iniziali

[math]x(0)=-x_0[/math]

e

[math]v(0)=0[/math]

e all'istante

[math]t_1[/math]

la molla è in condizioni di riposo, quindi l'altra condizione è

[math]x(t_1)=0[/math]

.
La soluzione dell'equazione differenziale è data da

[math]x(t)=A\cos(\omega t+\phi)[/math]

con

[math]x(0)=A\cos\phi=-x_0 \to A=-\frac{x_0}{\cos\phi}[/math]

ma dalla condizione

[math]v(0)[/math]

, derivando la soluzione

[math]x(t)[/math]

si ricava

[math]v(t)=-\omega A\sin(\omega t+\phi)[/math]

da cui

[math]v(0)=-\omega A\sin\phi=0 \to \sin\phi=0 \to \phi=0[/math]

quindi otteniamo

[math]A=-x_0[/math]

e

[math]\phi=0[/math]

, la soluzione di partenza diventa

[math]x(t)=-x_0\cos(\omega t)[/math]

con pulsazione

[math]\omega=\sqrt{\frac{k}{m_1+m_2}}[/math]

.

Al tempo

[math]t_1[/math]

otteniamo, dalla condizione

[math]x(t_1)=0[/math]

[math]x(t_1)=-x_0\cos(\omega t_1)=0 \to t_1=\frac{T}{4}=\frac{\pi}{2}\sqrt{\frac{m_1+m_2}{k}}[/math]

Le due masse hanno quindi la velocità in modulo (se dovessi specificare il segno, esso è positivo):

[math]v(t_1)=x_0\omega\sin(\omega t_1)=x_0\omega=x_0\sqrt{\frac{k}{m_1+m_2}}[/math]

Allo stesso risultato, più veloce, è quella della conservazione dell'energia meccanica.

Adesso il punto d) non so se il ragionamento è giusto...

Sicuramente alla massima compressione la massa

[math]m_1[/math]

ha velocità nulla ma

[math]m_2[/math]

prosegue il suo moto a velocità costante (il piano è liscio) e il filo ha tensione nulla. Ho pensato di analizzare il moto di

[math]m_1[/math]

dalla posizione di riposo fino alla massima compressione.
Ho scritto l'equazione oraria solo della massa

[math]m_1[/math]

[math]x_1(t)=B\cos(\omega t)[/math]

partendo dal tempo

[math]t_1=\frac{T}{4}[/math]

fino al tempo

[math]t_2=\frac{T}{2}[/math]

di massima compressione della molla. La pulsazione in questo caso è

[math]\omega=\sqrt{\frac{k}{m_1}}[/math]

.
Si ottengono le condizioni

[math]x_1(t_1)=0[/math]

e

[math]x_1(t_2)=x_0[/math]

da cui

[math]B=-x_0[/math]

, quindi si ottiene

[math]x_1(t)=-x_0\cos(\omega t)[/math]

Ora dovrei scrivere

[math]x_2(t)[/math]

ma non so se la via è corretta....

[mc2]

I primi tre punti sono giusti.

Per il punto d hai avuto un'intuizione giusta: la tensione e` nulla! Ma il procedimento non e` del tutto corretto.

Nell'istante t_1 la molla e` a riposo: fino a questo istante la molla ha accelerato le due masse, infatti la velocita` v(t_1) e` la massima raggiunta dalle due masse insieme.

Da questo istante in poi la molla fa rallentare la massa m_1, ma non puo` fare niente sulla massa m_2 che quindi prosegue con velocita` costante.
La tensione della fune tra le due masse si annulla a t_1.

Dal tempo t_1 in poi la massa m_2 si muove di moto uniforme, mentre la massa m_1 prosegue con il moto armonico e l'equazione del moto e`:

[math]m_1a=m_1\frac{d^2x}{dx^2}=-kx[/math]

quindi cambia la pulsazione!!!

ora la soluzione e`:

[math]x(t)=B\cos(\omega' t+\psi)[/math]

con

[math]\omega'=\sqrt{k/m_1}[/math]

, B e psi sono da determinare in base a delle nuoev condizioni iniziali: x(0)=0 e v(0)=v_1 (ho fatto ripartire il tempo da zero nel momento in cui la molla e` a riposo).

La massima compressione si ha a

[math]t_2=\frac{T'}{4}[/math]

, con

[math]T'=2\pi/\omega'[/math]

Quindi il tuo procedimento e` quasi giusto: hai solo dimenticato di cambiare la pulsazione.

[Fabien]

Quindi una volta trovato il valore di

[math]x_1(t_2)[/math]

, la distanza al tempo

[math]t_2[/math]

tra le due masse è

[math]d=L-x_1(t_2)[/math]

.
Partendo quindi da

[math]x_1(t)=B\cos(\omega' t+\psi)[/math]

con le condizioni iniziali

[math]x_1(0)=0[/math]

[math]v_1(0)=v_1[/math]

si ottiene

[math]x_1(0)=B\cos\psi=0 \to \psi=\frac{\pi}{2} [/math]

La velocità è

[math]v_1(t)=-\omega' B\sin(\omega' t+\psi)[/math]

che al tempo

[math]t=0[/math]

diventa

[math]v_1(0)=-\omega' B\sin\psi=v_1[/math]

La costante

[math]B[/math]

risulta

[math]B=-\frac{v_1}{\omega'}[/math]

Al tempo

[math]t_2[/math]

le leggi orarie del moto sono

[math]x_1(t_2)=-\frac{v_1}{\omega'}\cos(\omega' t_2+\frac{\pi}{2})[/math]

tenendo conto che alla massima compressione, le condizioni finali sono:

[math]x_1(t_2)=x_0[/math]

[math]v_1(t_2)=0[/math]

Risulta quindi:

[math]x_1(t_2)=-\frac{v_1}{\omega'}\cos(\omega' t_2+\frac{\pi}{2})=x_0[/math]

che per determinare

[math]t_2[/math]

utilizziamo la condizione finale della velocità

[math]v_1(t_2)=0[/math]

:

[math]v_1(t_2)=v_1\sin(\omega' t_2+\frac{\pi}{2})=0 \to t_2=\frac{\pi}{2\omega'}=\frac{T'}{4}[/math]

Infine, essendo

[math]\omega' t_2=\frac{\pi}{2}[/math]

, si ricava

[math]x_1(t_2)=-\frac{v_1}{\omega'}\cos(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2})=v_1\sqrt{\frac{m_1}{k}}[/math]

Quindi

[math]d=L-v_1\sqrt{\frac{m_1}{k}}=L-\frac{x_0}{2}=0.6 \ m[/math]

[mc2]

Perche' hai posto

[math]x_1(t_2)=x_0[/math]

?

Come fai a dire che la massima compressione e` uguale alla massima elongazione?
Quando la molla era allungata aveva due masse attaccate, ora ne ha solo una: e` una situazione diversa e l'ampiezza puo` cambiare.

Quello che si puo` dire di certo e` che la compressione massima si ha all'istante

[math]t_2=T'/4[/math]

, dove T' e` determinato dalla nuova pulsazione.

Per determinare la compressione della molla devi usare la conservazione dell'energia

[Fabien]

Ho sbagliato le condizioni finali....

Infatti dalla conservazione dell'energia, partendo dalla molla a riposo fino alla massima compressione ottengo

[math]x_{0,max}=v_1\sqrt{\frac{m_1}{k}}[/math]

cioè

[math]x_{0,max}=\omega x_0 \sqrt{\frac{m_1}{k}}=x_0\sqrt{\frac{m_1}{m_1+m_2}}[/math]

ben diverso da quello che ho scritto nel precedente post.
La distanza tra le due masse quando la molla arriva per la prima volta alla massima compressione risulta quindi

[math]d=L-x_{0,max}=L-x_0\sqrt{\frac{m_1}{m_1+m_2}}=L-\frac{x_0}{2}[/math]

[mc2]

Come hai calcolato L?

Devi ricordarti che m_2 viaggia di moto uniforme durante il tempo t_2

[Fabien]

Per trovare la distanza tra le due masse al tempo di massima compressione devo quindi trovare gli spazi percorsi dalle due masse al tempo

[math]t_2[/math]

, partendo dall'istante

[math]t=0[/math]

in cui la molla è a riposo e le due masse inizialmente distano

[math]L[/math]

(

[math]L[/math]

è dato dal testo), fisso l'origine nel punto in cui si trova la massa

[math]m_2[/math]

:

[math]x_2(0)=0[/math]

e

[math]x_1(0)=L[/math]

Avevo trovato che

[math]x_1(t_2)=x_0\sqrt{\frac{m_1}{m_1+m_2}}[/math]

Al tempo

[math]t_2[/math]

il blocco

[math]m_2[/math]

si muove di moto uniforme, questo significa che

[math]x_2(t_2)=v_1t_2=v_1\frac{T'}{4}=\frac{\pi}{2}x_0\sqrt{\frac{m_1}{m_1+m_2}}=\frac{\pi}{2}x_1(t_2)[/math]

Ora al tempo

[math]t_2[/math]

, la massa

[math]m_1[/math]

si è spostata di

[math]x_1(t_2)[/math]

dal punto di ascissa

[math]x=L[/math]

, la massa

[math]m_2[/math]

di

[math]x_2(t_2)[/math]

dal punto

[math]x=0[/math]

,quindi (ho fatto un piccolo disegno per capire gli spostamenti delle due masse)

[math]L+x_1(t_2)=d+x_2(t_2)[/math]

dove

[math]d[/math]

è la distanza effettiva delle due masse al tempo

[math]t_2[/math]

, quindi

[math]d=L+x_1(t_2)-x_2(t_2)=0.68 m < L[/math]

Non so se è giusto il ragionamento.

[mc2]

Il ragionamento e` giusto, non ho ricontrollato i calcoli numerici.