Dilatazione termica superficiale

[Cristoforo-]

Un disco di stagno è appoggiato sul bordo di un recipiente cilindrico con raggio intrno uguale a r=15cm e, a temperatura ambiente T=300K, lo copre con un avanzo Dr=0,1mm.E' possibile far cadere il disco dentro il recipiente? A quale tempereatura si dovrà trovare il disco?
Grazie mille

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Certamente che è possibile. Nello specifico occorre calcolare il gradiente termico

[math]\Delta T[/math]

tale per cui partendo dalla superficie iniziale

[math]S_i = \pi\left(r + \Delta r\right)^2[/math]

si arrivi alla superficie finale

[math]S_f = \pi\,r^2[/math]

tramite la legge di dilatazione superficiale

[math]S_f = S_i\left(1 + 2\alpha\Delta T\right)[/math]

dove

[math]\alpha[/math]

è il coefficiente di dilatazione termica lineare dello stagno. Ora sapresti risolvere l'esercizio da solo? :)

[Cristoforo-]

Scusa tem ma non mi è chiaro come si è giunti alla formula della superficie iniziale e quella finale.

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Intendi la legge di dilatazione superficiale?

[Cristoforo-]

esatto

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Sperimentalmente si nota che nella dilatazione superficiale l'aumento
della superficie

[math]\Delta S[/math]

è direttamente proporzionale alla superficie iniziale

[math]\small S_i[/math]

e all'incremento di temperatura

[math]\small \Delta T[/math]

tramite il coefficiente di dilatazione
superficiale

[math]\sigma[/math]

. In "matematichese":

[math]\Delta S = \sigma\,S_i\,\Delta T[/math]

. Ma dato che
per definizione si ha

[math]\small \Delta S := S_f - S_i[/math]

segue che

[math]\small S_f - S_i = \sigma\,S_i\,\Delta T[/math]

,
ossia

[math]S_f = S_i\left(1 + \sigma\,\Delta T\right)[/math]

. Infine, per materiali isotropi (ossia materiali
le cui proprietà fisiche non dipendono dalla direzione in cui le si studiano) vale
la relazione

[math]\sigma \approx 2\alpha[/math]

, ossia il coefficiente di dilatazione superficiale risulta con
ottima approssimazione pari al doppio di quello di dilatazione lineare. Tale rela-
zione è di estrema utilità in quanto quest'ultimi valori sono comodamente reperibili
da delle tabelle presenti sia nei libri di testo che in rete. Si conclude, quindi, che

[math]S_f = S_i\left(1 + 2\,\alpha\,\Delta T\right)[/math]

, come volevasi mostrare. Ok? :)