Determinare la densità di carica della sfera

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Ciao a tutti,
avrei bisogno di aiuto con questo esercizio.

Una sfera di raggio pari a 10cm, contenente una carica uniformemente distribuita,è racchiusa entro una superficie sferica conduttrice,concentrica alla sfera carica,di raggio 30 cm,tenuta a potenziale nullo.
Sapendo che il centro della sfera interna è ad un potenziale di 3,5kV, determinare il valore della densità di carica della sfera.

se mi potete spiegare come posso risolverlo.
grazie.

[mc2]

All'interno della sfera piccola il campo elettrico e` nullo, significa che il potenziale e` costante e vale V_0=3,5kV.

Tra le due sfere il potenziale e`

[math]V=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0r}+k[/math]

dove k e` una costante arbitraria ed r e` la distanza dal centro.

Le incognite k e q si possono determinare imponendo che il potenziale sia V_0 sulla superficie della sfera piccola, e 0 sulla superficie della sfera grande

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Ciao,
scusami ma non sto riuscendo a capire come devo determinare le incognite k e q.

io avevo pensato a calcolare il campo elettrico utilizzando il teorema di Gauss. Per la simmetria sferica della distribuzione le superfici gaussiane sono sfere concentriche e quindi si ha:
E(r)•4πr² = q/εo

e qui che mi sono bloccato.

ora non so come proseguire.
se dei disponibile a spiegarmi.

grazie.

[mc2]

Dai dati del problema che hai a disposizione, partire con il campo elettrico non ti serve a determinare la carica.

Devi sfruttare le informazioni sul potenziale.


Poniamo a=10 cm, b=30cm, V_0=3.5 kV

Si imposta il sistema:

[math]\left\{
\begin{array}{l}
\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 a}+k=V_0\\
\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 b}+k=0
\end{array}\right.[/math]

Basta risolvere il sistema per trovare q e k.

Una volta trovato q, basta dividere per la superficie per avere la densita.

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Ciao,
risolvendo il sistema ottengo che:

[math]k=\frac{a\cdot V_{0}}{a-b}[/math]

e

[math]q=\frac{4\pi \varepsilon _{0}ba\cdot V_{0}}{b-a}[/math]

quindi la densità di carica sara pari a :

[math]\rho =\frac{q}{V}=\frac{\frac{4\pi \varepsilon _{0}ba\cdot V_{0}}{b-a}}{\frac{4}{3}\pi r^{3}}[/math]

e qui mi sono bloccato di nuovo.
fammi sapere.
grazie.

[mc2]

La superficie da considerare e` quella della sfera piccola, quindi r=a.

Ci metti i numeri e calcoli...

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va bene.
quindi si ha:

[math]\rho =\frac{3\varepsilon _{0}bV_{0}}{a^{2}{b-a}}\approx 8 \frac{\mu C}{m^{3}}[/math]

spero di aver risolto bene i calcoli.
fammi sapere.
grazie.

[mc2]

Rifai i calcoli: non puoi avere un risultato che e` dimensionalmente sbagliato!

[math]a^2b-a [/math]

non ha senso

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ho rifatto di nuovo i passaggi, ma mi viene sempre:

[math]\rho =\frac{3\varepsilon _{0}bV_{0}}{a^{2}({b-a})}[/math]

sbaglio qualcosa??