Circuito

[demebi]

Potreste aiutarmi con questo problema?

Un circuito comprende un solenoide d'induttanza 5,0 H posto in serie con un resistore da 10 Ω, un generatore di f.e.m. costante uguale a 20 V e un interruttore inizialmente chiuso. A un certo istante, mentre il circuito è percorso dalla corrente di regime, si apre l'interruttore. Dopo quanto tempo la corrente assume un valore uguale all' 80% del valore di regime e dopo quanto tempo si riduce della metà?

[mc2]

[math]V=20[/math]

V,

[math]R=10~\Omega[/math]

,

[math]L=5,0[/math]

H


A regime la corrente

[math]I_0[/math]

e` costante, la caduta di potenziale e` tutta ai capi di R:

[math]V=RI_0[/math]

,

[math]~~~~ I_0=V/R=2,0[/math]

A


Quando si apre l'interruttore, l'induttore si oppone a brusche variazioni di corrente, con una d.d.p

[math]L\frac{dI}{dt}[/math]

. La corrente

[math]i(t)[/math]

varia nel tempo:

[math]L\frac{di}{dt}+Ri=0[/math]

La soluzione di questa equazione differenziale (con la condizione iniziale

[math]i(0)=I_0[/math]

) e`:

[math]i(t)=I_0\,e^{-Rt/L}=I_0\,e^{-t/\tau}[/math]

con la costante di tempo

[math]\tau=\frac{L}{R}=0,5[/math]

s


La corrente si riduce all'80% del valore di regime

[math]I_0[/math]

al tempo

[math]t_1[/math]

tale che

[math]i(t_1)=I_0\,e^{-t_1/\tau}=0,8\,I_0[/math]

[math]e^{-t_1/\tau}=0,8[/math]

[math]t_1=-\tau\log(0,8)=0,11[/math]

s


Si riduce alla meta` al tempo

[math]t_2[/math]

tale che

[math]i(t_2)=I_0\,e^{-t_2/\tau}=0,5\,I_0[/math]

[math]t_2=-\tau\log(0,5)=0,35[/math]

s