Centro di massa
Determinare il centro di massa di un cilindro circolare retto di altezza h la cui densità diminuisce uniformemente passando dal valore
* * *
Due particelle con masse m1 e m2 collidono elasticamente con velocità scalari che nelle coordinate del centro di massa sono date da
Aggiunto 20 ore 17 minuti più tardi:
"Ma
"
Come hai ottenuto questo?
Aggiunto 2 minuti più tardi:
Da dove hai dedotto il "Rho(r)"?
Aggiunto 1 giorni più tardi:
QUESTA SI CHE SI CHIAMA RISPOSTAAAAAAAAAAAAA!!!!!
Vi ringrazio tutti! Andiamo al 2).
Aggiunto 2 giorni più tardi:
Piccola digressione. Calcolare il centro di massa di un cono retto di altezza h e di diametro di base d.
A me viene 1/3 h mentre il libro sostiene che è 1/4 h. Chi ha ragione? Ps Ho integrato per strati nella seguente maniera
sostituendo
Avendosi
L'integrale finale, semplificate le costanti, dunque sarebbe
che calcolato verrebbe
Aggiunto 12 ore 40 minuti più tardi:
Oddio non capisco cosa vuoi dire. Il libro mi dà in coordinate CARTESIANE
eppure nel mio ragionamento non ci trovo nulla di sbagliato sembra filare tutto perfettamente! Ho ipotizzato che il raggio di ogni singola "fetta" descresca LINEARMENTE man mano che r cresce! E' un procedimento analogo a quello che mi ha insegnato ciampax...
da cui
[math]\rho[/math]
in corrispondenza della base inferiore al valore [math]\frac{\rho}{2}[/math]
in corrispondenza di quella superiore.* * *
Due particelle con masse m1 e m2 collidono elasticamente con velocità scalari che nelle coordinate del centro di massa sono date da
[math]u_1'[/math]
e [math]u_2'[/math]
. a) Determinare i valori delle velocità di rinculo [math]v_1'[/math]
e [math]v_2'[/math]
. b) Se le particelle rinculano formando un angolo [math]\theta'[/math]
rispetto alle loro direzioni iniziali che valori assumono le velocità di rinculo [math]v_1'[/math]
e [math]v_2'[/math]
? c) Per un osservatore stazionario m2 inizialmente è in quiete ma il centreo di massa del sistema è in moto con una velocità costante V parallelamente alla direzione iniziale di m1. Che relazione esiste tra v1' e V? d) Che valore ha l'angolo di rinculo [math] \theta[/math]
della particella m1 per questo osservatore?Aggiunto 20 ore 17 minuti più tardi:
"Ma
[math]\rho (r)[/math]
sappiamo essere funzione di r:[math]\rho (r)=\frac{\rho-\frac{\rho}{2}}{h}\cdot r[/math]
"
Come hai ottenuto questo?
Aggiunto 2 minuti più tardi:
Da dove hai dedotto il "Rho(r)"?
Aggiunto 1 giorni più tardi:
QUESTA SI CHE SI CHIAMA RISPOSTAAAAAAAAAAAAA!!!!!
Vi ringrazio tutti! Andiamo al 2).
Aggiunto 2 giorni più tardi:
Piccola digressione. Calcolare il centro di massa di un cono retto di altezza h e di diametro di base d.
A me viene 1/3 h mentre il libro sostiene che è 1/4 h. Chi ha ragione? Ps Ho integrato per strati nella seguente maniera
[math] y_c = \frac{\int_0^h {rdm}}{M} [/math]
sostituendo
[math] dm = \rho dV [/math]
e semplificando mi viene [math] y_c=\frac{\int_0^h{rdV}}{\int_0^h{dV}} [/math]
Avendosi
[math] dV= R(h)^2\pi dr[/math]
dove R(h) è il raggio in funzione dell'altezza (infatti R diminuisce con l'aumentare dell'altezza). Quest'ultimo me lo sono calcolato e viene[math] R(h)=-\frac{d}{2h} r+\frac{d}{2} [/math]
L'integrale finale, semplificate le costanti, dunque sarebbe
[math] y_c=\frac{\int_0^h{r-\frac{r^2}{h} dr}}{\int_0^h{1-\frac{r}{h} dr}}[/math]
che calcolato verrebbe
[math] \frac{1}{3}h[/math]
in disaccordo col libro.Aggiunto 12 ore 40 minuti più tardi:
Oddio non capisco cosa vuoi dire. Il libro mi dà in coordinate CARTESIANE
[math]y_c=\frac{1}{4}h[/math]
eppure nel mio ragionamento non ci trovo nulla di sbagliato sembra filare tutto perfettamente! Ho ipotizzato che il raggio di ogni singola "fetta" descresca LINEARMENTE man mano che r cresce! E' un procedimento analogo a quello che mi ha insegnato ciampax...
[math] R(r) = ar+b \\ R(0) = \frac{d}{2} \rightarrow b=\frac{d}{2}\\R(h)=0 \rightarrow
ah+b=ah+\frac{d}{2}=0 \rightarrow a=-\frac{d}{2h}[/math]
ah+b=ah+\frac{d}{2}=0 \rightarrow a=-\frac{d}{2h}[/math]
da cui
[math] R(r)= \frac{d}{2h}(1-\frac{1}{h}r)[/math]
Risposte
# Newton_1372 :
Determinare il centro di massa di un cilindro circolare retto di altezza h la cui densità diminuisce uniformemente passando dal valore[math]\rho[/math]in corrispondenza della base inferiore al valore[math]\frac{\rho}{2}[/math]in corrispondenza di quella superiore.
[...]
Da dove hai dedotto il "Rho(r)"?
[math] f(0) = \rho \\ f(h) = \frac{\rho}{2} [/math]
devi cercare una funzione decrescente (al crescere di r) che soddisfi le condizioni sopra:
[math] f(r) = \frac{\rho h}{h+r} [/math]
Aggiunto 2 giorni più tardi:
Aggiunto 2 giorni più tardi:
Piccola digressione. Calcolare il centro di massa di un cono retto di altezza h e di diametro di base d.
A me viene 1/3 h mentre il libro sostiene che è 1/4 h. Chi ha ragione? Ps Ho integrato per strati nella seguente maniera
[math] y_c = \frac{\int_0^h {rdm}}{M} [/math]
sostituendo
[math] dm = \rho dV [/math]
e semplificando mi viene [math] y_c=\frac{\int_0^h{rdV}}{\int_0^h{dV}} [/math]
Avendosi
[math] dV= R(h)^2\pi dr[/math]
dove R(h) è il raggio in funzione dell'altezza (infatti R diminuisce con l'aumentare dell'altezza). Quest'ultimo me lo sono calcolato e viene[math] R(h)=-\frac{d}{2h} r+\frac{d}{2} [/math]
L'integrale finale, semplificate le costanti, dunque sarebbe
[math] y_c=\frac{\int_0^h{r-\frac{r^2}{h} dr}}{\int_0^h{1-\frac{r}{h} dr}}[/math]
che calcolato verrebbe
[math] \frac{1}{3}h[/math]
in disaccordo col libro.[/quote]
no, il libro ti dà il risultato corretto, sbagli la limitazione. stai usando delle notazioni che ti inducono all'errore: chiama le cose col loro nome (coordinate cilindriche) e risolvi i problemi. R non è funzione di h, ma di r, nella tua notazione. in coordinate cilindriche significa che
[math] \rho [/math]
(=R) è funzione di [math]z[/math]
(=r). la limitazione superiore per [math] \rho [/math]
è determinata dalla retta [math] z = \frac hd \rho + h [/math]
[math]y_c[/math]
dovrebbe essere [math] r_c [/math]
, ma in coordinate cilindriche si chiama [math]z_c[/math]
Aggiunto 1 ore 13 minuti più tardi:
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(non capisco più niente con questo sistema di rispondere, ho fatto una linea)
sei sicuro che d sia il diametro? perchè per sbaglio l'ho preso come raggio e torna come sul libro, quindi penso sia un errore di stampa
ho pure sbagliato un conto.. ti faccio sapere tra poco che ho un attimo da fare adesso
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ok, il risultato esce sempre come sul libro anche dopo aver corretto il raggio (perchè il centro di massa è indipendente da esso).
ma vi hanno spiegato gli integrali multipli (tripli) prima di darvi questi problemi? la limitazione per il raggio è
[math] R(r) = (r-h)(- \frac d{2h})[/math]
, quindi dovresti integrare [math]\pi r(R(r))^2 [/math]
tra 0 ed h (altezza del cono), nella variabile r, e dividere per il volume. secondo me non è una cosa che si può spiegare su due piedi, c'è un teorema (di pappo) sui solidi di rotazione che spiega come calcolarsi i volumi come nel tuo caso. meglio se aspetti ciampax per ulteriori delucidazioni
Sì, ma spiegateli come lo calcolate! :asd Newton, visto che la densità diminuisce in maniera uniforme, vuol dire che essa è una funzione lineare dell'altezza (che hanno chiamato
dove
da cui
Ora, per la massa abbiamo, essendo il volume del cilindro
e quindi
Aggiunto 2 ore più tardi:
Problema 2: dire che le due masse collidono con velocità
e quindi
e sostituendo
e quindi
Per il resto ti faccio sapere, che ora ho da fare.
[math]r[/math]
) a cui ti trovi nel cilindro. Hai quindi una funzione[math]\rho(r)=a r+b,\qquad \qquad 0\leq r\leq h[/math]
dove
[math]a,b[/math]
sono costanti da determinare. Se imponi le condizioni [math]\rho(0)=\rho,\ \rho(h)=\rho/2[/math]
segue[math]b=\rho,\qquad ah+b=\rho/2[/math]
da cui
[math]b=\rho,\ a=-\rho/(2h)[/math]
. Io userei questa, piuttosto che quella scritta da The Track. Quindi[math]\rho(r)=-\frac{\rho}{2h}\ r+\rho=\frac{\rho}{2h}(2h-r)[/math]
Ora, per la massa abbiamo, essendo il volume del cilindro
[math]V(r)=\pi R^2 r[/math]
dove [math]R[/math]
è il raggio di base,[math]M=\int_0^h \frac{\rho}{2h}(2h-r)\ \pi R^2\ dr=\frac{\pi\rho R^2}{2h}\int_0^h (2h-r)\ dr=\frac{\pi\rho R^2}{2h}\left[2hr-\frac{r^2}{2}\right]_0^h=\\
=\frac{\pi\rho R^2}{2h}\left(2h^2-\frac{h^2}{2}\right)=\frac{\pi\rho R^2}{2h}\cdot\frac{3h^2}{2}=\frac{3\pi\rho R^2 h}{4}[/math]
=\frac{\pi\rho R^2}{2h}\left(2h^2-\frac{h^2}{2}\right)=\frac{\pi\rho R^2}{2h}\cdot\frac{3h^2}{2}=\frac{3\pi\rho R^2 h}{4}[/math]
e quindi
[math]z_{CM}=\frac{1}{M}\int_0^h r\ \frac{\rho}{2h}(2h-r)\ \pi R^2\ dr=\frac{\pi\rho R^2}{2h M}\int_0^h(2hr-r^2)\ dr=\frac{4\pi\rho R^2}{2h 3\pi\rho R^2 h}\left[hr^2-\frac{r^3}{3}\right]_0^h=\\
=\frac{2}{3h^2}\cdot\left(h^3-\frac{h^3}{3}\right)=\frac{2}{3h^2}\cdot\frac{2h^3}{3}=\frac{4}{9}\ h[/math]
=\frac{2}{3h^2}\cdot\left(h^3-\frac{h^3}{3}\right)=\frac{2}{3h^2}\cdot\frac{2h^3}{3}=\frac{4}{9}\ h[/math]
Aggiunto 2 ore più tardi:
Problema 2: dire che le due masse collidono con velocità
[math]u_1',\ u_2'[/math]
rispetto al centro di massa, vuol dire che puoi ipotizzare fermo quest'ultimo (come se le sue coordinate fossero quelle dell'origine del sistema di riferimento) e supporre che le due particelle si muovano lungo l'asse x con velocità [math]u_1', u_2'[/math]
. Poiché in tale sistema il centro di massa risulta fermo, segue che[math]m_1 u_1'+m_2 u_2'=m_1 v_1'+m_2 v_2'=0[/math]
e quindi
[math]u_1'=-\frac{m_2}{m_1} u_2',\ v_1'=-\frac{m_2}{m_1} v_2'[/math]
. Inoltre dall'equazione della conservazione dell'energia segue[math]m_1 (u_1')^2+m_2 (u_2')^2=m_1(v_1')^2+m_2 (v_2')^2[/math]
e sostituendo
[math]\frac{m_2^2 (u_2')^2}{m_1}+m_2 (u_2')^2=\frac{m_2 (v_2')^2}{m_1}+m_2 (v_2')^2[/math]
[math]m_2(u_2')^2\cdot(m_1+m_2)=m_2(v_2')^2\cdot(m_2+m_1)[/math]
e quindi
[math](u_2')^2=(v_2')^2[/math]
da cui [math]u_2'=\pm v_2'[/math]
. Poiché avviene urto, dobbiamo scartare la soluzione positiva e considerare solo quella negativa. Segue che [math]u_2'=-v_2'[/math]
e analogamente [math]u_1'=-v_1'[/math]
.Per il resto ti faccio sapere, che ora ho da fare.
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