Campo elettrostatico e forza elettrostatica

[Corra96]

Salve a tutti, avrei bisogno di aiuto nel seguente problema di fisica:
"Tre cariche puntiformi, q, 2q e -q sono poste su tre vertici di un quadrato di lato L come in figura (immagine sottostante). Si calcolino a) il campo elettrostatico in modulo, direzione e verso, e il potenziale nella posizione del quarto vertice del quadrato; b) la forza elettrostatica cui è sottoposta la carica puntiforme positiva Q posta nel quarto vertice del quadrato e la sua energia potenziale.

Il primo punto ho provato a risolverlo, tuttavia mi sono trovato in difficoltà nell'attribuzione dei segni alle cariche, e non so se il procedimento sia giusto. Provo ora a riscrivere parte del ragionamento seguito.
a)

[math]E_{tot}= E_{Xtot} + E_{Ytot}[/math]

Da cui:

[math]E_{Xtot}= E_{1X} + E_{2X} + E_{3X}\\
E_{Ytot}= E_{1Y} + E_{2Y} + E_{3Y}[/math]

Calcolo componenti X:

[math]E_{1}[/math]

->

[math]E_{1X}[/math]

[math]=E_{1}cos(225)[/math]

[math]= \frac{2q}{4πE_{0}r^{2}}cos(225)\\[/math]

[math]E_{2} -> solo\ componente\ y;\\ E_{3} -> E_{3X}=E_{3}= \frac{+q}{4πE_{0}r^{2}}cos(225)\\[/math]

Calcolo componenti Y:

[math]E_{1} -> E_{1Y}=E_{1}sen(225)= \frac{2q}{4πE_{0}r^{2}}sen(225)\\E_{2} -> E_{2Y}=E_{2}= \frac{+q}{4πE_{0}r^{2}}\\E_{3} -> E_{3Y}=0[/math]

Totale:

[math]E_{Xtot}= \frac{-2q}{4πE_{0}r^{2}}cos(225)+ \frac{+q}{4πE_{0}r^{2}}\\E_{Ytot}= \frac{-2q}{4πE_{0}r^{2}}sen(225)+ \frac{-q}{4πE_{0}r^{2}} [/math]

Per quanto riguarda questi passaggi non sono sicuro siano giusti i segni attribuiti alle cariche, in quanto non ho capito come attribuirli (e neanche il ragionamento). Purtroppo, essendomi bloccato a questo punto, non riesco più a procedere. Spero possiate aiutarmi, non chiedo la risoluzione dell’intero esercizio, i calcoli li faccio io, volevo qualche indicazioni sul procedimento da seguire.
Grazie dell’aiuto.
Cordiali saluti,
M.

[mc2]

Le tue formule non sono ben leggibili, provo a scrivere tutto da capo, spero che sia chiaro.

Per comodita` di scrittura usero` l'abbreviazione:

[math]k=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}[/math]

La cosa piu` semplice e` lavorare con il potenziale, che e` una quantita` scalare e non ci sono le complicazioni dei vettori!


Scriviamo quindi il potenziale generato dalle cariche A,B,C in un punto P generico di coordinate (x,y).

La distanza tra il punto P ed il punto A e`

[math]r_{PA}=\sqrt{x^2+(L-y)^2}[/math]

, e analogamente per i punti B e C

Il potenziale e`:

[math]V(x,y)=k\left(\frac{q}{r_{PA}}+\frac{2q}{r_{PB}}+\frac{-q}{r_{PC}}\right)=
[/math]

[math]
=k\left\{\frac{q}{\sqrt{x^2+(L-y)^2}}+
\frac{2q}{\sqrt{(L-x)^2+(L-y)^2}}-\frac{q}{\sqrt{(L-x)^2+y^2}}\right\}
[/math]

Il potenziale nel punto D si ottiene subito calcolando la precedente espressione per x=0 e y=0:

[math]V_D=V(0,0)=k\left(\frac{q}{L}+\frac{2q}{\sqrt{2}L}-\frac{q}{L}\right)=k\sqrt{2}\frac{q}{L}[/math]

Per calcolare il campo elettrico usiamo la definizione:

[math]\vec{E}=-\vec{\nabla}V[/math]

o, in componenti:

[math]E_x=-\frac{\partial V}{\partial x}[/math]

[math]E_y=-\frac{\partial V}{\partial y}[/math]

Per calcolare il campo elettrico nel punto D, prima bisogna calcolare le derivate di V usando x e y generici, dopo si pone x=0 e y=0.

Adesso non ho piu` tempo di scrivere le formule. Domani continuo (ma nel frattempo ti consiglio di provare ad andare avanti da solo)