Calcolo della variazione di entropia (del sistema, dell'ambiente e dell'universo) dopo un ciclo termodinamico
Ciao, non riesco a capire come calcolare la variazione di entropia del sistema e dell'universo e in particolare vorrei riportare due miei dubbi, dei quali uno relativo ad un esercizio.
1)In seguito ad un ciclo termodinamico irreversibile, per esempio costituito da 4 trasformazioni di cui una sola è irreversibile, la variazione di entropia dell'universo è uguale a quella dell'ambiente e cioè, uguale alla quantità di calore scambiata dal sistema durante quella determinata trasformazione irreversibile diviso la temperatura a cui si trova la sorgente di calore con cui esso l'ha scambiata... lo so per via pratica, ma come ci si arriva con l'utilizzo delle relazioni tra
2) Si tratta di un esercizio sul calcolo di entropia, ma questa volta le mie perplessità si basano sul perché la variazione di entropia del sistema, dopo aver compiuto un ciclo, mi risulta diversa da 0 e su come calcolare la variazione di entropia dell'universo.
Ecco il testo:
Un sistema è costituito da
Si determini:
a) il rendimento del ciclo;
b) la variazione di entropia del sistema in un ciclo;
c) la variazione di entropia dell’ambiente in un ciclo.
Con la prima parte dell'esercizio non ho alcun problema, il risultato del rendimento mi viene esatto (lo so per certo perché conosco le soluzioni numeriche), per cui suppongo che anche le coordinate termodinamiche che ho trovato nei vari stati del ciclo siano esatte:
stato 1) :
stato 2):
stato 3):
stato 4):
Nei risultati dell'esercizio c'è scritto che la variazione di entropia del sistema deve essere uguale a 0 (come c'è da aspettarsi d'altronde per qualsiasi ciclo termodinamico, reversibile o irreversibile) ma se calcolo l'entropia del ciclo per ogni singola trasformazione, ottengo che l'entropia totale è diversa da 0:
(dove per le adiabatiche ho utilizzato la relazione per calcolare la differenza di entropia di due stati termodinamici collegati da un'isocora:
e cioè:
... come è possibile??
1)In seguito ad un ciclo termodinamico irreversibile, per esempio costituito da 4 trasformazioni di cui una sola è irreversibile, la variazione di entropia dell'universo è uguale a quella dell'ambiente e cioè, uguale alla quantità di calore scambiata dal sistema durante quella determinata trasformazione irreversibile diviso la temperatura a cui si trova la sorgente di calore con cui esso l'ha scambiata... lo so per via pratica, ma come ci si arriva con l'utilizzo delle relazioni tra
[math] \Delta S^{univ} [/math]
, [math] \Delta S^{amb} [/math]
e [math] \Delta S^{sist} [/math]
?2) Si tratta di un esercizio sul calcolo di entropia, ma questa volta le mie perplessità si basano sul perché la variazione di entropia del sistema, dopo aver compiuto un ciclo, mi risulta diversa da 0 e su come calcolare la variazione di entropia dell'universo.
Ecco il testo:
Un sistema è costituito da
[math] n = 4mol [/math]
di gas perfetto biatomico. Esso si trova in equilibrio alla temperatura [math] T_{1} = 410K [/math]
occupando un volume pari a [math] V_{1} = 20l [/math]
. Il sistema compie un’espansione isobara, ottenuta ponendo il gas a contatto con un termostato a temperatura [math] T_{2} [/math]
, fino all’equilibrio termico dove il gas raggiunge il volume [math] V_{2} = 4V_{1} [/math]
. In seguito, il gas compie una trasformazione adiabatica reversibile fino al volume [math] V_{3} = 7V_{1} [/math]
, ed un successivo abbassamento isocoro quasi-statico della temperatura. Infine, una compressione adiabatica reversibile riporta il sistema alle condizioni iniziali. Si determini:
a) il rendimento del ciclo;
b) la variazione di entropia del sistema in un ciclo;
c) la variazione di entropia dell’ambiente in un ciclo.
Con la prima parte dell'esercizio non ho alcun problema, il risultato del rendimento mi viene esatto (lo so per certo perché conosco le soluzioni numeriche), per cui suppongo che anche le coordinate termodinamiche che ho trovato nei vari stati del ciclo siano esatte:
stato 1) :
[math] V_{1} [/math]
, [math] T_{1} [/math]
stato 2):
[math] V_{2} = 4V_{1} [/math]
, [math] T_{2} [/math]
stato 3):
[math] V_{3} = 7V_{1} [/math]
, [math] T_{3} = 4T_{1} ( \frac{4}{7} )^{\gamma - 1} [/math]
stato 4):
[math] V_{4} = V_{3} [/math]
, [math] T_{4} = T_{1} ( \frac{1}{7} )^{\gamma - 1} [/math]
.Nei risultati dell'esercizio c'è scritto che la variazione di entropia del sistema deve essere uguale a 0 (come c'è da aspettarsi d'altronde per qualsiasi ciclo termodinamico, reversibile o irreversibile) ma se calcolo l'entropia del ciclo per ogni singola trasformazione, ottengo che l'entropia totale è diversa da 0:
[math] \Delta S ^{sist} = \Delta S ^{sist} _{1,2} + \Delta S ^{sist} _{2,3} + \Delta S ^{sist} _{3,4} + \Delta S ^{sist} _{4,1} [/math]
(dove per le adiabatiche ho utilizzato la relazione per calcolare la differenza di entropia di due stati termodinamici collegati da un'isocora:
[math] \Delta S ^{isocora }_{A,B} = nc_{v}ln\frac{T_{B}}{T_{A}} [/math]
)e cioè:
[math] \Delta S ^{sist} = nc_{p}ln\frac{V_{2}}{V_{1}} + nc_{v}ln\frac{T_{3}}{T_{2}} + ln\frac{T_{4}}{T_{3}} + nc_{v}ln\frac{T_{1}}{T_{4}} [/math]
[math] = nc_{p}ln4 + nc_{v}ln( \frac{ 4 T_{1} \frac{4}{7} ^{\gamma -1} }{T_{2}} ) + nc_{v}ln( \frac{T_{1} (\frac{1}{7}) ^{\gamma -1} }{ 4 T_{1} \frac{4}{7} ^{\gamma -1}} ) + nc_{v} ln ( \frac { T_{1} } { T_{1} (\frac{1}{7}) ^{ \gamma -1} } )[/math]
[math] = nc_{p}ln4 - nc_{v}ln4 = nRln4 \neq 0 ????? [/math]
...... come è possibile??
Risposte
Domanda 1)
Per definizione:
se il sistema compie una trasformazione al termine della quale torna nel suo stato iniziale, allora
Quindi per un trasformazione ciclica:
Se l'ambiente e` un serbatoio di calore a temperatura costante
Generalmente Q si calcola dal punto di vista del sistema che compie il ciclo: dovrai tenere presente allora che il calore Q "visto" dalla sorgente ha il segno cambiato!
Era questo il tuo dubbio?
Aggiunto 32 minuti più tardi:
Per l'esercizio:
Le adiabatiche sono reversibili, quindi
Perche' le calcoli con un'isocora?? Il volume non e` costante in quelle trasformazioni!
Le altre trasformazioni del ciclo sono:
1->2 isobara irrev. :
3->4 isocora reversibile:
quindi la variazione di entropia nel ciclo e` zero!
Aggiunto 13 minuti più tardi:
Per l'ambiente (domanda c)
Nella trasfromazione 1-> 2 il gas assorbe il calore
e siccome l'ambiente ha T costante:
(ricontrolla i calcoli!)
la trasformazione 3->4 e` reversibile quindi usiamo il risultato ricavato prima:
e la variazione complessiva di S per l'ambiente (e quindi per l'universo) e` > 0:
Per definizione:
[math]\Delta S_{univ}=\Delta S_{amb}+ \Delta S_{sist}[/math]
se il sistema compie una trasformazione al termine della quale torna nel suo stato iniziale, allora
[math]\Delta S_{sist}=0[/math]
perche' l'entropia e` funzione di stato, cioe` dipende solo dallo stato del sistema: se lo stato finale e` identico a quello iniziale allora la variazione di S e` zero!Quindi per un trasformazione ciclica:
[math]\Delta S_{univ}=\Delta S_{amb}[/math]
Se l'ambiente e` un serbatoio di calore a temperatura costante
[math]T_{amb}[/math]
che scambia il calore Q con il sistema, allora [math]\Delta S_{amb}=Q/T_{amb}[/math]
.Generalmente Q si calcola dal punto di vista del sistema che compie il ciclo: dovrai tenere presente allora che il calore Q "visto" dalla sorgente ha il segno cambiato!
Era questo il tuo dubbio?
Aggiunto 32 minuti più tardi:
Per l'esercizio:
Le adiabatiche sono reversibili, quindi
[math]\Delta S_{23}=\Delta S_{41}=0[/math]
.Perche' le calcoli con un'isocora?? Il volume non e` costante in quelle trasformazioni!
Le altre trasformazioni del ciclo sono:
1->2 isobara irrev. :
[math]\Delta S_{12}=nc_p\log\frac{V_2}{V_1}=
\frac{7}{2}nR\log 4
[/math]
\frac{7}{2}nR\log 4
[/math]
3->4 isocora reversibile:
[math]\Delta S_{34}=nc_v\log\frac{T_4}{T_3}=
\frac{5}{2}nR\log\left(\frac{T_1}{7^{\gamma-1}}\cdot\frac{7^{\gamma-1}}{4^\gamma T_1}\right)=[/math]
\frac{5}{2}nR\log\left(\frac{T_1}{7^{\gamma-1}}\cdot\frac{7^{\gamma-1}}{4^\gamma T_1}\right)=[/math]
[math]
=-\frac{5}{2}nR\gamma\log 4=-\Delta S_{12}
[/math]
=-\frac{5}{2}nR\gamma\log 4=-\Delta S_{12}
[/math]
quindi la variazione di entropia nel ciclo e` zero!
Aggiunto 13 minuti più tardi:
Per l'ambiente (domanda c)
Nella trasfromazione 1-> 2 il gas assorbe il calore
[math]Q_{12}=nc_p(T_2-T_1)[/math]
quindi la sorgente CEDE quella quantita` di calore, quindi [math]Q_{12}^{amb}=-Q_{12}^{sist}=-nc_p(T_2-T_1)[/math]
e siccome l'ambiente ha T costante:
[math]\Delta S_{12}^{amb}=\frac{-nc_p(T_2-T_1)}{T_2}=-\frac{21}{8}nR[/math]
(ricontrolla i calcoli!)
la trasformazione 3->4 e` reversibile quindi usiamo il risultato ricavato prima:
[math]\Delta S_{34}^{amb}=-\Delta S_{34}^{sist}=\frac{7}{2}nR\log 4[/math]
e la variazione complessiva di S per l'ambiente (e quindi per l'universo) e` > 0:
[math]\Delta S^{amb}=\Delta S_{12}^{amb}+\Delta S_{34}^{amb}==-\frac{21}{8}nR+\frac{7}{2}nR\log 4=74.1[/math]
J/K
Colpa mia ho interpretato male quello che dice il mio libro di testo, cioè che per collegare due stati entropici descritti da una trasformazione adiabatica (le trasformazioni adiabatiche sono isoentropiche, cioè il valore dell'entropia rimane costante per tutta la trasformazione) basta usare una qualsiasi trasformazione reversibile che unisca i due stati, ma adesso mi accorgo che le due adiabatiche sono già "unite" dall'isobara e dall'isocora che costituiscono il ciclo...
quindi ricapitolando
Di conseguenza, anche dal punto di vista dell'ambiente che tra lo stato 2 e 3 e tra lo stato 4 e 1 la variazione è nulla, per cui
Ora, per calcolare l'entropia dell'ambiente giustamente hai tenuto conto del fatto se le trasformazioni fossero irreversibili o reversibili: in quest'ultimo caso la variazione di entropia dell'ambiente è l'opposta di quella della trasformazione tra due stati entropici.
Il testo del problema dice esplicitamente che le trasformazioni (2,3) e (4,1) sono reversibili, ma come si fa a capire che ad esempio la (1,2) è irreversibile mentre la (3,4) reversibile?
Aggiunto 6 ore 8 minuti più tardi:
Per esempio se in un esercizio dove è descritto un ciclo mi viene chiesto di determinare se una trasformazione che ne fa parte sia reversibile o no quali fattori devo valutare?
quindi ricapitolando
[math] \Delta ^{sist} _{2,3} = \Delta ^{sist} _{4,1} = 0 [/math]
perché le trasformazioni (2,3) e (4,1) sono adiabatiche: questo accadrebbe anche se fossero adiabatiche irreversibili giusto?Di conseguenza, anche dal punto di vista dell'ambiente che tra lo stato 2 e 3 e tra lo stato 4 e 1 la variazione è nulla, per cui
[math] \Delta ^{amb} _{2,3} = \Delta ^{amb} _{4,1} = 0 [/math]
.Ora, per calcolare l'entropia dell'ambiente giustamente hai tenuto conto del fatto se le trasformazioni fossero irreversibili o reversibili: in quest'ultimo caso la variazione di entropia dell'ambiente è l'opposta di quella della trasformazione tra due stati entropici.
Il testo del problema dice esplicitamente che le trasformazioni (2,3) e (4,1) sono reversibili, ma come si fa a capire che ad esempio la (1,2) è irreversibile mentre la (3,4) reversibile?
Aggiunto 6 ore 8 minuti più tardi:
Per esempio se in un esercizio dove è descritto un ciclo mi viene chiesto di determinare se una trasformazione che ne fa parte sia reversibile o no quali fattori devo valutare?
Per fare chiarezza su quello che dice il libro:
la variazione di entropia tra uno stato A e uno stato B si puo` calcolare con una qualsiasi trasformazione reversibile che parta dallo stato A e arrivi allo stato B.
Nel caso dell'adiabatica reversibile tra i punti 2->3 tu devi trovare una trasformazione che parta dal punto 2 (definito da
Per esempio: puoi usare una isobara dal punto 2 al punto intermedio A (tale che
perche' per un'adiabatica reversibile vale
Potevi pero` scegliere un cammino diverso: prima l'isocora e poi l'isobara, oppure un'isoterma e poi un'isocora... o puoi invertarti il cammino piu` strambo che ti viene in mente: in tutti i casi trovi
La variazione di entropia per l'ambiente e` ugualmente 0.
Per un'adiabatica irreversibile tra A e B:
Per la definizione di adiabatica:
Infatti dalla teoria sappiamo che (se non ti ritrovi, posso consigliarti dei libri di testo dove questo e` spiegato):
quindi in questo caso (adiabatica irreversibile):
La variazione di entropia in questo caso si calcola conoscendo lo stato iniziale e quello finale (devono essere specificati dal testo del problema, o devono essere ricavati da altre informazioni fornite) e si applica la formula
Nota bene che, come ho scritto sopra, per un'adiabatica irreversibile
Aggiunto 11 minuti più tardi:
In una trasformazione reversibile (o quasistatica) il sistema e` in ogni istante in equilibrio termodinamico.
Il testo del problema dice: "Esso si trova in equilibrio alla temperatura T1=410K... . Il sistema compie un’espansione isobara, ottenuta ponendo il gas a contatto con un termostato a temperatura T2, fino all’equilibrio termico ..."
dunque il sistema alla temperatura T_1 viene messo in contatto con un termostato a temperatura diversa: il gas non puo` essere in equilibrio appena viene messo in contatto (non vale la pV=nRT)!
Se anche solo per un istante durante la trasformazione il gas e` fuori equilibrio allora la trasformazione non puo` essere reversibile.
Alla fine della trasformazione il gas trova la condizione di equilibrio finale, cioe` riaggiusta il volume in modo da riavere pV=nRT: cio` permette che le successive trasformazioni potranno essere reversibili (dipende da come verranno effettuate).
La trasformazione 3-4 e` definita "quasi-statica" dal testo del problema, e questo e`, in pratica, sinonimo di reversibile. Infatti la trasformazione quasistatica e` una trasformazione che avviene mooooolto lentamente, in modo che nessuna grandezza termodinamica subisca variazioni brusche, cosi` il gas e` in equilibrio (pV=nRT) in ogni istante.
Se ci sono variazioni brusche di temperatura (per es. il gas messo a contatto con un termostato a T diversa) o di pressione (per es. una parete che viene tolta ed il gas si espande in modo libero) o altro per cui il sistema non e` sempre in equilibrio: allora la trasformazione e` irreversibile.
Quando il testo dice cose tipo "il gas viene scaldato lentamente" oppure "compresso lentamente" allora si assume che la trasformazione e` reversibile.
la variazione di entropia tra uno stato A e uno stato B si puo` calcolare con una qualsiasi trasformazione reversibile che parta dallo stato A e arrivi allo stato B.
Nel caso dell'adiabatica reversibile tra i punti 2->3 tu devi trovare una trasformazione che parta dal punto 2 (definito da
[math]p_2,V_2,T_2[/math]
) ed arrivi al punto 3 ([math]p_3,V_3,T_3[/math]
). Per esempio: puoi usare una isobara dal punto 2 al punto intermedio A (tale che
[math]p_A=p_2,~V_A=V_3[/math]
a cui corrisponde una temperatura [math]T_A[/math]
che, se occorre, puoi calcolarti) poi una isocora da A a 3. Lungo questo cammino calcoli [math]\Delta S[/math]
:[math]\Delta S_{23}=\Delta S_{2A}+\Delta S_{A3}=[/math]
[math]=nc_p\log\frac{V_A}{V_2}+nc_V\log\frac{p_3}{p_A}=[/math]
[math]=nc_p\log\frac{V_3}{V_2}+nc_V\log\frac{p_3}{p_2}=[/math]
[math]=nc_V\gamma\log\frac{V_3}{V_2}+nc_V\log\frac{p_3}{p_2}=[/math]
[math]=nc_V\log\frac{p_3V_3^\gamma}{p_2V_2^\gamma}=0[/math]
perche' per un'adiabatica reversibile vale
[math]pV^\gamma=costante[/math]
(non ti azzardare ad usare questa relazione per un'adiabatica irreversibile!)Potevi pero` scegliere un cammino diverso: prima l'isocora e poi l'isobara, oppure un'isoterma e poi un'isocora... o puoi invertarti il cammino piu` strambo che ti viene in mente: in tutti i casi trovi
[math]\Delta S_{23}=0[/math]
(se fai i conti giusti!).La variazione di entropia per l'ambiente e` ugualmente 0.
Per un'adiabatica irreversibile tra A e B:
Per la definizione di adiabatica:
[math]Q_{AB}=0[/math]
ma questo non implica che anche la variazione di entropia sia zero!Infatti dalla teoria sappiamo che (se non ti ritrovi, posso consigliarti dei libri di testo dove questo e` spiegato):
[math]S_B-S_A=\int_A^B\left(\frac{\delta Q}{T}\right)_{rev}>
\int_A^B\left(\frac{\delta Q}{T}\right)_{irrev}
[/math]
\int_A^B\left(\frac{\delta Q}{T}\right)_{irrev}
[/math]
quindi in questo caso (adiabatica irreversibile):
[math]\left(\frac{\delta Q}{T}\right)_{irrev}=0[/math]
implica [math]\Delta S_{AB}>0[/math]
La variazione di entropia in questo caso si calcola conoscendo lo stato iniziale e quello finale (devono essere specificati dal testo del problema, o devono essere ricavati da altre informazioni fornite) e si applica la formula
[math]S_B-S_A=nc_V\log\frac{p_BV_B^\gamma}{p_AV_A^\gamma}[/math]
o altre equivalenti (oppure inventi tu una qualsiasi trasformazione reversibile tra A e B e fai come visto prima). Nota bene che, come ho scritto sopra, per un'adiabatica irreversibile
[math]pV^\gamma[/math]
non e` costante, quindi la formula precedente da` un risultato non nullo!Aggiunto 11 minuti più tardi:
Il testo del problema dice esplicitamente che le trasformazioni (2,3) e (4,1) sono reversibili, ma come si fa a capire che ad esempio la (1,2) è irreversibile mentre la (3,4) reversibile?
In una trasformazione reversibile (o quasistatica) il sistema e` in ogni istante in equilibrio termodinamico.
Il testo del problema dice: "Esso si trova in equilibrio alla temperatura T1=410K... . Il sistema compie un’espansione isobara, ottenuta ponendo il gas a contatto con un termostato a temperatura T2, fino all’equilibrio termico ..."
dunque il sistema alla temperatura T_1 viene messo in contatto con un termostato a temperatura diversa: il gas non puo` essere in equilibrio appena viene messo in contatto (non vale la pV=nRT)!
Se anche solo per un istante durante la trasformazione il gas e` fuori equilibrio allora la trasformazione non puo` essere reversibile.
Alla fine della trasformazione il gas trova la condizione di equilibrio finale, cioe` riaggiusta il volume in modo da riavere pV=nRT: cio` permette che le successive trasformazioni potranno essere reversibili (dipende da come verranno effettuate).
La trasformazione 3-4 e` definita "quasi-statica" dal testo del problema, e questo e`, in pratica, sinonimo di reversibile. Infatti la trasformazione quasistatica e` una trasformazione che avviene mooooolto lentamente, in modo che nessuna grandezza termodinamica subisca variazioni brusche, cosi` il gas e` in equilibrio (pV=nRT) in ogni istante.
Per esempio se in un esercizio dove è descritto un ciclo mi viene chiesto di determinare se una trasformazione che ne fa parte sia reversibile o no quali fattori devo valutare?
Se ci sono variazioni brusche di temperatura (per es. il gas messo a contatto con un termostato a T diversa) o di pressione (per es. una parete che viene tolta ed il gas si espande in modo libero) o altro per cui il sistema non e` sempre in equilibrio: allora la trasformazione e` irreversibile.
Quando il testo dice cose tipo "il gas viene scaldato lentamente" oppure "compresso lentamente" allora si assume che la trasformazione e` reversibile.
Quindi mentre una adiabatica reversibile è isoentropica perché la relazione
è nulla visto che
per una irreversibile questo non si verifica e quindi non è isoentropica, per cui ha senso calcolarne la variazione di entropia tra i due stati.
Per quanto riguarda tutte le altre trasformazioni quindi c'è da stare attenti ai particolare che menziona il problema e diciamo che è questione di pratica, non esistono delle formule analitiche per capire se una trasformazione è reversibile o no, a parte per una adiabatica, dove per capirlo basta applicare l'identità
tra due stati termodinamici e vedere se è vera o è falsa: in quest'ultimo caso non può essere reversibile (la domanda sul fatto se si potesse capire se una trasformazione fosse reversibile o no faceva riferimento ad un altro esercizio, dove la trasformazione in questione era proprio un'adiabatica).
Riguardo la prima domanda ho scritto delle sciocchezze perché ho tratto quelle conclusioni sulla base di aver dato per scontato che una trasformazione di un ciclo fosse reversibile, non avendo tenuto conto dei dettagli riportati dal problema sulla modalità di come fosse avvenuta.
Riconosco di aver caricato abbastanza in questo topic ma mi hai chiarito tutti i dubbi che avevo! ti ringrazio infinitamente!!
[math]\Delta S _{A,B} = nc_{v} ln \frac{P_{B} V_{B}^ \gamma }{P_{A} V_{A}^ \gamma } = nc_{v} ln 1 = 0[/math]
è nulla visto che
[math] P_{B} V_{B}^ \gamma = P_{A} V_{A}^ \gamma [/math]
, per una irreversibile questo non si verifica e quindi non è isoentropica, per cui ha senso calcolarne la variazione di entropia tra i due stati.
Per quanto riguarda tutte le altre trasformazioni quindi c'è da stare attenti ai particolare che menziona il problema e diciamo che è questione di pratica, non esistono delle formule analitiche per capire se una trasformazione è reversibile o no, a parte per una adiabatica, dove per capirlo basta applicare l'identità
[math] P_{B} V_{B}^ \gamma = P_{A} V_{A}^ \gamma [/math]
tra due stati termodinamici e vedere se è vera o è falsa: in quest'ultimo caso non può essere reversibile (la domanda sul fatto se si potesse capire se una trasformazione fosse reversibile o no faceva riferimento ad un altro esercizio, dove la trasformazione in questione era proprio un'adiabatica).
Riguardo la prima domanda ho scritto delle sciocchezze perché ho tratto quelle conclusioni sulla base di aver dato per scontato che una trasformazione di un ciclo fosse reversibile, non avendo tenuto conto dei dettagli riportati dal problema sulla modalità di come fosse avvenuta.
Riconosco di aver caricato abbastanza in questo topic ma mi hai chiarito tutti i dubbi che avevo! ti ringrazio infinitamente!!
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