Calcolare massa di una particella

[insule23]

salve avrei bisogno del vostro aiuto con questo esercizio:

Una carica di 45uC è uniformemente distribuita all'interno di una sfera di raggio R pari a 1 m. Si stabilisca la massa di una particella dotata di carica pari a -50nC, affinchè sia in equilibrio lungo la verticale passante per il centro della sfera, alla distanza R/2 da quest'ultimo.
Si disegni la figura del problema e il grafico delle forze.


ho cominciato col dire che affinché la particella sia in equilibrio deve annullarsi la risultante delle forze agenti su di essa in corrispondenza della posizione indicata.

ora non sò però come continuare...
se mi potete aiutare...
grazie..

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

E' sufficiente imporre tale equilibrio lungo la verticale.
In particolare, considerando le intensità delle forze in
gioco (forza peso verso il basso e forza elettrica verso
l'alto) si ha:

[math]\small |q|\,E = m\,g[/math]

da cui, banalmente:

[math]\small m = \frac{|q|\,E}{g}[/math]

.
Dal momento che all'interno della sfera di raggio

[math]R[/math]

è
uniformemente distribuita una carica

[math]Q[/math]

, si ha che

[math]E(r) = \begin{cases}\frac{Q}{4\,\pi\,\epsilon_0\,}\frac{r}{R^3} & per \; 0 \le r < R \\ \frac{Q}{4\,\pi\,\epsilon_0\,}\frac{1}{r^2} & per \; r \ge R \end{cases}[/math]

. Dunque,
imponendo che l'equilibrio si verifichi per

[math]r = \frac{R}{2}[/math]

... :)

[insule23]

ho una domanda da fare,
perché abbiamo la carica in valore assoluto

[math]\small |q|[/math]

;

quindi essendo

[math]r = \frac{R}{2}[/math]

ovvero

[math]0 \le r < R[/math]

si ha che il campo elettrico risultante all'interno della sfera sia uguale a:

[math]E(r) = \frac{Q}{4\,\pi\,\epsilon_0\,}\frac{r}{R^3}[/math]

quindi sostituendo il tutto ottengo la massa...

è giusto???
mi potresti rispondere al mio dubbio e se è possibile fare un disegno del problema e il grafico delle forze.
grazie..

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Come sopra scritto, ho eguagliato le intensità delle forze in gioco,
quindi le quantità non certamente positive vanno considerate in
modulo. Sul calcolo del campo elettrico ciò che scrivi mi pare cor-
retto: occorre sostituire

[math]r = \frac{R}{2}[/math]

nell'espressione che hai riportato.
Quanto alla rappresentazione grafica del sistema di forze è talmente
banale che mi rifiuto di pensare che tu non sia in grado di farlo in
autonomia: si tratta di una sferetta con un paio di frecce: una in su
e una in giù!

[insule23]

ok va bene..

quindi il campo elettrico è uguale a :

[math]E(r) = \frac{Q}{4\,\pi\,\epsilon_0\,}\frac{\frac{R}{2}}{R^3}[/math]

[math]=\frac{Q}{4\,\pi\,\epsilon_0\,}\frac{\1}{2R^2}[/math]

ora sostituendo i dati forniti dal problema calcolo il campo elettrico,
che vado a sostituire nella formula

[math]\small m = \frac{|q|\,E}{g}[/math]

per calcolarmi la massa.

è giusto? fammi sapere..
grazie..

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Come sopra scritto, dal momento che l'equilibrio si ha per

[math]r = \frac{R}{2}[/math]

, si ha

[math]E\left(\frac{R}{2}\right) = \frac{Q}{8\,\pi\,\epsilon_0\,R^2}[/math]

e quindi segue che

[math]m = \frac{|q|\,E\left(\frac{R}{2}\right)}{g} = \frac{|q|\,Q}{8\,\pi\,\epsilon_0\,R^2\,g}[/math]

.

[insule23]

ma essendo

[math]|q|[/math]

e

[math]Q[/math]

uguali di valore possiamo scrivere:

[math]m = \frac{q^2}{8\,\pi\,\epsilon_0\,R^2\,g}[/math]

è giusto o sto sbagliando..
fammi sapere..
grazie.

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Ma se fossero uguali, per quale folle motivo avrei dovuto indicarle in maniera
differente?? Per cortesia, rileggi da cima a fondo il problema e rifletti per bene,
ti stai annegando in un bicchier d'acqua. ;)

[insule23]

allora

[math]|q|[/math]

è la carica all'interno della sfera
e vale

[math]45 uC[/math]

,

mentre

[math]Q[/math]

è la carica della particella e vale

[math]-50nC[/math]

è giusto??
grazie..