Calcolare la velocità della spira

[alessre]

salve avrei bisogno del vostro aiuto con questo esercizio.

Una spira metallica quadrata, di lato pari a 40cm,di massa 8g e resistenza 1Ω,trasla alla velocità di 2m/s parallelamente ad un suo lato, dirigendosi verso una regione di spazio in cui è presente un campo magnetico uniforme ed ortogonale al suo piano, di intensità pari a 1T, secondo lo schema di figura; il lato della spira ha lunghezza inferiore all'estensione a della regione. Trascurando l'autoinduzione, si calcoli la velocità con la quale la spira trasla, dopo aver attraversato tale regione ed esserne uscita completamente.
Se mi potete aiutare a risolverlo.
Grazie.

[mc2]

Prova a postare il tuo tentativo di soluzione e potremo discuterne.

Per favore: non dire che non sai come iniziare dopo tutti gli esercizi di questo tipo che hai fatto!

[alessre]

Allora iniziamo dicendo che quando la spira penetra nella regione in cui è presente il campo magnetico

[math]\vec{B}[/math]

,
nella spira si origina un campo elettromotore che genera una forza elettromotrice pari a

[math]fem=\vec{v}\times \vec{B}[/math]

Pertanto la spira ha una corrente uguale a :

[math]i=\frac{1}{R}\int_{spira}^{ } (\vec{v}\times \vec{B})\cdot d\vec{l}=\frac{vBl}{R}[/math]

sono arrivato sin qui.
va bene? ora non riesco a continuare.
se mi puoi aiutare.
grazie.

[mc2]

Fai finta di essere ad un esame: te la devi cavare da solo!

Leggi bene il testo del problema: i dati contengono un suggerimento...
Ti viene data la massa della spira, quindi ci sara`` una forza... ed un'equazione del moto (roba da fisica 1 !!!)

[alessre]

lo so che me la devo cavare da solo, per questo chiedo a vuoi di aiutarmi
per prepararmi meglio ed agli eventuali dubbi che ho.

comunque come da te suggerito sulla spira agisce una forza pari a:

[math]\vec{F}=i\oint_{spira}^{ }d\vec{l}\times \vec{B}=-ilB\hat{x}=-\frac{vB^{2}l^{2}}{R}\hat{x}[/math]

per cui l'equazione del moto della spira nel campo magnetico è:

[math]-\frac{vB^{2}l^{2}}{R}=m\frac{dv}{dt}=m\frac{dv}{dx}\frac{dx}{dt}=mv\frac{dv}{dx}[/math]

ovvero:

[math] \frac{dv}{dx}=-\frac{B^{2}l^{2}}{R}[/math]

va bene?
ora come dovrei proseguire.
se mi puoi aiutare.

[mc2]

Hai perso la massa per strada, per il resto va bene.

Hai scritto un'equazione differenziale: non chiedere cosa devi fare... risolvila!

[alessre]

si ha:

[math]\frac{dv}{dx}=-\frac{B^{2}l^{2}}{mR}[/math]

il professore ci suggerito di integrale tale equazione per poter stabilire il valore della velocità della spira quancdo anche il lato verticale entra nella regione del campo magnetico:

[math]\int_{v_{0}}^{v(l)}d\zeta = -\frac{B^{2}l^{2}}{mR}\int_{0}^{l}d\xi [/math]

cioè:

[math]v(l) = -\frac{B^{2}l^{3}}{mR}+v_{0}[/math]

ora però non sto più a capire come fare..
se mi puoi aiutare.
grazie.

[mc2]

Hai gia` fatto meta` del problema...

ora ripeti lo stesso per l'uscita della spira.

[alessre]

allora ripetendo lo stesso ragionamento, per l'uscita della spira si ha:

[math]\int_{v_{l}}^{v(f)}d\zeta = -\frac{B^{2}l^{2}}{mR}\int_{0}^{l}d\xi[/math]

da cui segue:

[math]v(f) = -\frac{B^{2}l^{3}}{mR}+v_{l}=-\frac{B^{2}l^{3}}{mR}-\frac{B^{2}l^{3}}{mR}+v_{0}=-\frac{2B^{2}l^{3}}{mR}+v_{0}[/math]

va bene?
grazie per la pazienza.

[mc2]

Va bene.

Ma la prossima volta fai tutto da solo.