Calcolare la potenza dissipata nella resistenza

[insule23]

ciao vorrei avere il vostro aiuto con il seguente esercizio.

Nel circuito in figura i generatori

[math]V_1[/math]

e

[math]V_2[/math]

erogano, rispettivamente, una forza elettromotrice di 2V e 4V e le resistenze

[math]r_1[/math]

e

[math]r_2[/math]

valgono, rispettivamente, 0.5Ω e 0.7Ω.
Si stabilisca la potenza dissipata nella resistenza R di 2Ω.

se mi potete aiutare a risolverlo.
grazie.

[mc2]

Hai provato con le leggi di Kirchhoff ?

[insule23]

si ma non sò come fare..
se mi puoi aiutare..
che sto impazzendo.
grazie.

[mc2]

Il circuito e` formato da due maglie e due nodi.

Ci sono tre rami: quello che passa da r_1, quello che passa da r_2 e quello che passa da R.

In ognuno di questi rami passa una corrente: chiamale come vuoi tu, per esempio i_1, i_2 ed i, e dai ad ognuna di loro un verso a tua scelta (per non complicarti la vita ti consiglio di seguire il verso "naturale" dei generatori).

Le tre correnti sono le tue tre incognite.

Scrivi la legge dei nodi per uno dei due nodi (per l'altro nodo ottieni un'equazione identica: e` inutile scriverla due volte!). In questo modo ti restano solo due incognite indipendenti (per es. i_1 ed i_2).

Scegli un verso di percorrenza per ognuna delle due maglie, per esempio orario nella maglia di sinistra, antiorario in quella di destra (cosi` da seguire il verso "naturale" dei generatori: ma non e` importante, il risultato viene lo stesso anche se fai una scelta diversa).

Scrivi l'equazione delle maglie per ognuna delle due maglie: ottieni cosi` un sistema di due equazioni (di primo grado) in due incognite, che puoi risolvere (si impara al primo anno di liceo) per ricavarti le due correnti incognite, e di conseguenza anche la terza.

[NB: se alla fine dei calcoli una corrente ti viene negativa, vuol dire che il suo verso e` opposto a quello che avevi ipotizzato all'inizio: cambi il verso, cambi il segno alla corrente ed il risultato e` giusto]

Quando hai la corrente i che passa in R la potenza dissipata e` Ri^2

[insule23]

dalla figura

abbiamo che:
considerando la magli di sinistra si ha:

[math]V_1+IR+I_{1}r_{1}=0[/math]

mentre per la maglia a destra:

[math]V_2-I_{2}r_{2}-IR=0[/math]

dimmi se è giusto.
ora come proseguo.
sto impazzendo..
non riesco proprio a capire come funzionano la leggi di Kirchhoff..
se mi puoi aiutare.
grazie.

[mc2]

Sbagli i segni per la maglia di sinistra:

il potenziale SCENDE quando percorri una resistenza nel verso della corrente

Per la maglia di sinistra:

[math]V_1-IR-I_1r_1=0[/math]

Per la maglia di destra e` giusta la tua equazione.

Aggiungi l'equazione di un nodo:

[math]I_1+I_2=I[/math]

ed elimini una delle tre correnti incognite, per esempio I, ma puoi decidere di eliminare I_2... come vuoi tu (tanto alla fine le trovi tutte lo stesso).

Per esempio se elimini I_2:

[math]I_2=I-I_1[/math]

Il sistema diventa

[math]\left\{\begin{array}{l}
V_1-IR-I_1r_1=0 \\
V_2-(I-I_1)r_2-IR=0
\end{array}\right.
[/math]

e adesso hai un normalissimo sistema di primo grado con due incognite. Ricavi I_1 (in funzione di I) dalla prima equazione e sostituisci nella seconda e trovi I.

[insule23]

allora dalla prima equazione ottengo:

[math] I_1=\frac{V_1-IR}{r_1} [/math]

sostituendolo nella seconda si ha:

[math] I=\frac{V_1-V_2r_1}{2R+r_1} [/math]

è corretto...
ora come proseguo..
fammi sapere.
grazie.

[mc2]

Dov' finita r2? Fai i calcoli come si deve e con calma. Quando hai I poi calcoli subito la potenza dissipata ed hai finito

[insule23]

allora dalla prima equazione ottengo:

[math]I_1=\frac{V_1-IR}{r_1}[/math]

sostituendolo nella seconda si ha:

[math]I=\frac{V_1r_2+V_2r_1}{r_1r_2+R(r_1+r_2)}[/math]

quindi la potenza dissipata risulta

[math]P=I^{2}R=\left ( \frac{V_1r_2+V_2r_1}{r_1r_2+R(r_1+r_2)} \right )^{2}R\approx 3.0W[/math]

è corretto...

fammi sapere.
grazie.

[mc2]

Ora va bene. Ciao

[insule23]

grazie mille