Calcolare la carica di un condensatore all'origine dei tempi
ciao vorrei avere il vostro aiuto con il seguente esercizio.
Il circuito schematizzato in figura, in cui T1 e T2 rappresentano gli interruttori e V un generatore di forza elettromotrice ideale di 100V, è disposto inizialmente in modo che T1 sia chiuso e T2 sia aperto.
Una volta raggiunta la situazione di regime, ad un certo istante, assumibile come origine dei tempi, T1 viene aperto e T2 viene chiuso.
Sapendo che le resistenze R1 e R3 valgono entrambe 1kΩ, R2 vale 2kΩ e il condensatore C ha una capacità di 1.44uF, si stabiliscano la carica presente sulle armature del condensatore all'origine dei tempi e dopo quanto tempo da tale origine questa carica si dimezza.
scusate ma non riesco a capire come impostare il problema.
se mi potete aiutare.
grazie.
Il circuito schematizzato in figura, in cui T1 e T2 rappresentano gli interruttori e V un generatore di forza elettromotrice ideale di 100V, è disposto inizialmente in modo che T1 sia chiuso e T2 sia aperto.
Una volta raggiunta la situazione di regime, ad un certo istante, assumibile come origine dei tempi, T1 viene aperto e T2 viene chiuso.
Sapendo che le resistenze R1 e R3 valgono entrambe 1kΩ, R2 vale 2kΩ e il condensatore C ha una capacità di 1.44uF, si stabiliscano la carica presente sulle armature del condensatore all'origine dei tempi e dopo quanto tempo da tale origine questa carica si dimezza.
scusate ma non riesco a capire come impostare il problema.
se mi potete aiutare.
grazie.
Risposte
A regime (con T1 chiuso e T2 aperto), nel ramo con il condensatore non circola corrente, e la d.d.p. ai suoi capi e` uguale a quella ai capi della resistenza R2.
La corrente che circola e` data da
La caduta di potenziale su R_2 e`:
La carica sulle armature del condensatore e`
Quando gli interruttori si invertono il condensatore si scarica attraverso le resistenze. Le resistenze R_1 ed R_3 sono in serie, e con R_2 formano un collegamento in parallelo. La resistenza complessiva equivalente e`
La corrente nel circuito decade esponenzialmente:
Da qui dovrebbe essere facile andare avanti e calcolare il tempo in cui
La corrente che circola e` data da
[math]V=(R_1+R_2+R_3)I_0[/math]
, cioe` [math]I_0=25~mA[/math]
.La caduta di potenziale su R_2 e`:
[math]\Delta V=R_2 I_0=50~V[/math]
La carica sulle armature del condensatore e`
[math]Q_0=C\Delta V=7,2\cdot 10^{-6}~C[/math]
Quando gli interruttori si invertono il condensatore si scarica attraverso le resistenze. Le resistenze R_1 ed R_3 sono in serie, e con R_2 formano un collegamento in parallelo. La resistenza complessiva equivalente e`
[math]R_{eq}=1~k\Omega[/math]
.La corrente nel circuito decade esponenzialmente:
[math]I(t)=I_0\,e^{-t/(R_{eq}C)}[/math]
. La carica sulle armature del condensatore si ottiene integrando:[math]I(t)=\frac{dQ}{dt}[/math]
[math]Q(t)=\int_0^t I(t') dt'=I_0R_{eq}C(1-e^{-t/(R_{eq}C)})[/math]
Da qui dovrebbe essere facile andare avanti e calcolare il tempo in cui
[math]Q(t)=Q_0/2[/math]
ho alcuni dubbi.
perché prima dici che nel ramo con il condensatore non circola corrente e poi calcoli la corrente che circola? a cosa si riferisce?
inoltre come hai fatto a calcolare la resistenza complessiva equivalente.
e poi non riesco a calcolare il tempo.
se per favore mi potresti aiutare.
spiegandomi cosa fare e togliermi questi dubbi.
grazie.
perché prima dici che nel ramo con il condensatore non circola corrente e poi calcoli la corrente che circola? a cosa si riferisce?
inoltre come hai fatto a calcolare la resistenza complessiva equivalente.
e poi non riesco a calcolare il tempo.
se per favore mi potresti aiutare.
spiegandomi cosa fare e togliermi questi dubbi.
grazie.
A regime, nella situazione iniziale con T1 chiuso e T2 aperto, non circola corrente nel condensatore, che e` carico. Ma la corrente circola nel resto del circuito, cioe` nelle resistenze, senza passare dal condensatore.
Quando si apre T1 e si chiude T2, allora il condensatore si scarica e la corrente circola anche nel ramo con il condensatore.
Per calcolare il tempo devi risolvere l'equazione:
Aggiunto 3 minuti più tardi:
La resistenza equivalente si calcola dalla serie R_1+R_3 messi in parallelo con R_2
Quando si apre T1 e si chiude T2, allora il condensatore si scarica e la corrente circola anche nel ramo con il condensatore.
Per calcolare il tempo devi risolvere l'equazione:
[math]\frac{Q_0}{2}=I_0R_{eq}C(1-e^{-t/(R_{eq}C)})[/math]
[math]1-e^{-t/(R_{eq}C)}=\frac{Q_0}{2I_0R_{eq}C}[/math]
[math]e^{-t/(R_{eq}C)}=1-\frac{Q_0}{2I_0R_{eq}C}[/math]
[math]t=-R_{eq}C\log\{ 1-\frac{Q_0}{2I_0R_{eq}C}\}=0.15~ms[/math]
Aggiunto 3 minuti più tardi:
La resistenza equivalente si calcola dalla serie R_1+R_3 messi in parallelo con R_2
ok va bene.
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