Calcolare il tempo di un condensatore piano
salve avrei bisogno del vostro aiuto con questo esercizio di fisica.
Un condensatore piano che impiega un dielettrico di costante dielettrica relativa pari a 2.3 e resistività di 1.5*10^11 Ωm viene caricato con una differenza di potenziale di 100V. Si determini dopo quanto tempo la differenza di potenziale ai capi del condensatore raggiunge il valore di 10V, una volta isolato.
se mi potete aiutare a capire cosa devo fare.
spiegandomi i vari passaggi e cenni teorici
grazie.
Un condensatore piano che impiega un dielettrico di costante dielettrica relativa pari a 2.3 e resistività di 1.5*10^11 Ωm viene caricato con una differenza di potenziale di 100V. Si determini dopo quanto tempo la differenza di potenziale ai capi del condensatore raggiunge il valore di 10V, una volta isolato.
se mi potete aiutare a capire cosa devo fare.
spiegandomi i vari passaggi e cenni teorici
grazie.
Risposte
E` un caso di condensatore che si scarica, ma non attraverso una resistenza esterna, bensi` una resistenza interna (il dielettrico), ma per l'impostazione del problema non fa alcuna differenza.
Devi scrivere la capacita` del condensatore
Devi scrivere la sua resistenza
Poi l'equazione del circuito per la scarica del condensatore e`:
risolvi l'equazione differenziale e ti ricavi la carica sulle armature in funzione del tempo.
Comincia ad arrivare fino a qui...
Devi scrivere la capacita` del condensatore
[math]C=\frac{\varepsilon_0\varepsilon_r\Sigma}{d}[/math]
Devi scrivere la sua resistenza
[math]R = \frac{\rho d}{\Sigma}[/math]
Poi l'equazione del circuito per la scarica del condensatore e`:
[math]Ri+\frac{q}{C}=0[/math]
[math]\frac{dq}{dt}+\frac{1}{RC}q=0[/math]
risolvi l'equazione differenziale e ti ricavi la carica sulle armature in funzione del tempo.
Comincia ad arrivare fino a qui...
Allora dalla
ponendo
separando le variabili scrivendo
abbiamo che:
essendo
è giusto quello che ho scritto?
ora come continuo per trovarmi la differenza di potenziale.
se mi puoi aiutare che non ci sto capendo nulla.
grazie.
[math]Ri+\frac{q}{C}=0[/math]
ponendo
[math]i=\frac{dq}{dt}[/math]
la precedente equazione si traduce in [math]R\frac{dq}{dt}+\frac{q}{C}=0[/math]
separando le variabili scrivendo
[math]\frac{dq}{q}=-\frac{dt}{RC}[/math]
abbiamo che:
[math]q=q_{0}e^{-\frac{t}{RC}}[/math]
essendo
[math]q_{0}[/math]
la carica iniziale sul condensatore.è giusto quello che ho scritto?
ora come continuo per trovarmi la differenza di potenziale.
se mi puoi aiutare che non ci sto capendo nulla.
grazie.
Fino a qui e` tutto giusto.
Ora: la differenza di potenziale si ricava dalla carica:
con
Devi calcolare a quale istante di tempo
quindi
e da qui puoi calcolare t_1 (isola l'esponenziale e prendi il log)
Ora: la differenza di potenziale si ricava dalla carica:
[math]V(t)=\frac{1}{C}q(t)
=V_0\,e^{-t/RC}
[/math]
=V_0\,e^{-t/RC}
[/math]
con
[math]V_0=100~V[/math]
Devi calcolare a quale istante di tempo
[math]t_1[/math]
il potenziale vale [math]V_1=10 V[/math]
quindi
[math]V_1=V_0\,e^{-t_1/RC}[/math]
e da qui puoi calcolare t_1 (isola l'esponenziale e prendi il log)
OK ho capito, ma no riesco a calcolare t_1..
mi puoi mostrare i passaggi.
per favore.
grazie.
mi puoi mostrare i passaggi.
per favore.
grazie.
Questi passaggi devi imparare a farli, altrimenti non puoi andare avanti!
e da qui puoi proseguire.
PS: adesso non mi chiedere come si calcolano R e C : ti ho dato le formule all'inizio e ti serve calcolare solo il loro prodotto !
[math]e^{-t_1/RC}=\frac{V_1}{V_0}[/math]
[math]-\frac{t_1}{RC}=\log{\frac{V_1}{V_0}}[/math]
e da qui puoi proseguire.
PS: adesso non mi chiedere come si calcolano R e C : ti ho dato le formule all'inizio e ti serve calcolare solo il loro prodotto !
ok..
quindi il tempo che la differenza di potenziale ai capi del condensatore raggiunga il valore di 10V è :
ovvero
da cui mettendo i valori ottengo
dimmi se è corretto.
grazie.
quindi il tempo che la differenza di potenziale ai capi del condensatore raggiunga il valore di 10V è :
[math]t=RC \cdot log\left ( \frac{V_{0}}{V_{1}} \right )[/math]
ovvero
[math]t=\epsilon _{0}\epsilon _{r}\rho \cdot log\left ( \frac{V_{0}}{V_{1}} \right )[/math]
da cui mettendo i valori ottengo
[math]t\approx 7 s[/math]
dimmi se è corretto.
grazie.
Giusto
ok grazie mille
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