Calcolare costante dielettrica del materiale inserito tra le armature e il lavoro compiuto

[refranco]

salve avrei bisogno del vostro aiuto con questo esercizio di fisica.

Un condensatore di 50 nF è collegato ad un generatore di forza elettromotrice di 180V. quando lo spazio tra le armature, originariamente vuoto, viene riempito di materiale isolante, si osserva che la carica del condensatore varia di 12 uC.
Si calcoli la costante dielettrica relativa del materiale inserito tra le armature e il lavoro compiuto dalla batteria per mantenere costante la differenza di potenziale ai capi del condensatore

Ho impostato l'esercizio dicendo che:
prima che il materiale dielettrico venga inserito tra le armature del condensatore di capacità

[math]C_{0}[/math]

, la carica presente sulle armature vale:

[math]Q_{0}=C_{0}V[/math]

dove V è la forza elettromotrice erogata dal generatore.

ora come faccio a continuare.
se mi potete aiutare a risolverlo.
grazie.

[mc2]

La capacita` del condensatore e`

[math]C=\frac{\varepsilon S}{d}[/math]

.

Quando c'e` il vuoto:

[math]C_0=\frac{\varepsilon_0 S}{d}[/math]

Quando c'e` l'isolante (di costante elettrica relativa

[math]\chi_1[/math]

):

[math]C_1=\frac{\varepsilon_0 \chi_1 S}{d}[/math]

Ma vale anche:

[math]Q_0=C_0 V[/math]

e

[math]Q_1=C_1 V[/math]

per cui

[math]\Delta Q=Q_1-Q_0=(C_1-C_0)V=(\chi_1-1)\frac{\varepsilon_0 S}{d}V=
(\chi_1-1)C_0V
[/math]

[math]\chi_1=1+\frac{\Delta Q}{C_0 V}=2,33[/math]

Il lavoro compiuto dalla batteria e` pari alla variazione di energia elettrostatica immagazzinata nel condensatore:

[math]W=\Delta U_e=\frac{1}{2}C_1V^2-\frac{1}{2}C_0V^2=\frac{1}{2}\Delta Q \,V=1,1[/math]

mJ

[refranco]

va bene.
per quanto riguarda il lavoro il testo consiglia di impostare la relazione:

[math]L=\int_{Q_{0}}^{Q_{1}}V dq[/math]

non ho capito cosa vuol dire. e in che maniera si risolve.
se me lo potresti spiegare.
grazie.

[mc2]

[math]dL=V\, dq[/math]

e` il lavoro che bisogna compiere per spostare una carica dq attraverso la d.d.p. V.

In questa espressione pero` V e` un potenziale "esterno".

Se consideri invece un insieme di cariche e vuoi calcolare l'energia totale del sistema devi sommare i contributi q_i*V di ogni carica NEL potenziale generato da tutte le altre cariche.

Ma in questo modo ogni carica viene contata due volte: una volta come carica "di prova" ed una volta come "sorgente" di V. Per evitare questo doppio conteggio bisogna dividere per due.

Quando si ha una distributione continua di cariche, come in questo caso, vale lo stesso ragionamento.

L'espressione corretta percio` e`

[math]W=\frac{1}{2}\int V\,dq[/math]

[math]L=\frac{1}{2}\int_{q_1}^{q_2}V\,dq=\frac{1}{2}V\Delta Q
[/math]

[refranco]

OK va bene.
grazie mille.