[2° legge di Newton] Forma traslatoria e forma rotatoria

[rosva1]

qualcuno potrebbe aiutarmi a svolgere questo esercizio?

[Studente Anonimo]

Allora, in questo tipo di problemi a farla da padrona è la seconda legge di Newton.

Come dovresti sapere, essa la si può scrivere in due forme: la prima, quella più
nota, è legata al moto traslatorio ed è

[math]\begin{aligned}\sum_{i=1}^n \vec{F}_i = m\,\vec{a}\end{aligned}[/math]

, mentre la seconda è
legata al moto rotatorio ed è

[math]\begin{aligned}\sum_{i=1}^n \vec{M}_i = I\,\vec{\alpha}\end{aligned}[/math]

, dove

[math]I[/math]

è il momento di inerzia
dell'oggetto che ruota ed

[math]\alpha[/math]

la propria accelerazione angolare.



Nel nostro caso specifico, le incognite sono essenzialmente due: la tensione

[math]T[/math]

del filo e l'accelerazione

[math]a[/math]

del sistema "blocco-disco" considerato.

Dato che le incognite sono due per riuscire a determinare un'unica soluzione
al problema ci servono altrettante equazioni indipendenti. In questo caso una
sarà di tipo traslatorio (ossia legata al blocco) e l'altra di tipo rotatorio (ossia
legata al disco). In particolare, considerando come positivo il verso in cui si
muove il sistema (sia per la traslazione che per la rotazione) si ha:

1. Piano inclinato liscio

[math]\begin{cases} m_B\,g\,\sin\alpha - T = m_B\,a \\ T\,R = \left(\frac{1}{2}m_D\,R^2\right)\left(\frac{a}{R}\right) \end{cases}\\[/math]

2. Piano inclinato scabro

[math]\begin{cases} m_B\,g\,\sin\alpha - \mu_d\,m_B\,g\,\cos\alpha - T = m_B\,a \\ T\,R = \left(\frac{1}{2}m_D\,R^2\right)\left(\frac{a}{R}\right) \end{cases}\\[/math]

dove in entrambi i casi il momento è stato calcolato applicando la propria
definizione, forza per braccio, il momento di inerzia del disco è stato reperito
in letteratura (e va imparato a memoria) mentre l'accelerazione angolare,
supponendo che non vi sia strisciamento tra filo e disco, è definita come il
rapporto della accelerazione traslazionale e il raggio di rotazione.

Spero sia sufficientemente chiaro. ;)


P.S. potrebbe interessarti anche questo. Ti faccio notare che, eccetto nel
caso in cui il supporto della carrucola esplichi un momento frenante, il
raggio della carrucola non influisce sull'accelerazione del sistema e
quindi nemmeno sulle tensioni che nascono nel filo. :)