Triangolo isoperimetrico di area massima

[ludovica.sarandrea]

Sono un'aspirante insegnante e sto preparando una lezione per ragazzi delle medie, terza media. Ho trattato tutto il problema isoperimetrico arrivando a mostrare, ovviamente per via geometrica e grafica che tra le figure isoperimetriche, quella con area piu' grande e' la circonferenza. Sono andata per gradi mostrando via via le diverse disuguaglianze tra le aree delle figure. L'unica cosa che non riesco a fare e' mostrare che tra tutti i triangoli isoperimetrici, quello di area massima e' quello equilatero. Qualcuno sa darmi una strada da percorrere?

[Settevoltesette]

Se disegni un triangolo, prendi una base e traccia la bisettrice e fai notare che (si può usare hanche uno spago) quello che ha un vertice sulla bisettrice (quello isoscele) a parità di base ha altezza maggiore, poi prendi un altro lato e fai lo stesso gioco, e vedi che a mano a mano diventa sempre più vicino ad un triangolo equilatero

P. S.
Scusami ma è molto che non ho più a che fare con i termini della geometria elementare, togli la parola bisettrice e sostituisci con asse di simmetria della base

[ludovica.sarandrea]

"Settevoltesette":Se disegni un triangolo, prendi una base e traccia la bisettrice e fai notare che (si può usare hanche uno spago) quello che ha un vertice sulla bisettrice (quello isoscele) a parità di base ha altezza maggiore, poi prendi un altro lato e fai lo stesso gioco, e vedi che a mano a mano diventa sempre più vicino ad un triangolo equilatero

P. S.
Scusami ma è molto che non ho più a che fare con i termini della geometria elementare, togli la parola bisettrice e sostituisci con asse di simmetria della base

Quindi tu mi suggerisci di fare il procedimento con il triangolo isoscele, che tra l'altro avevo già dimostrato, e dire semplicemente che ruotandolo e facendo lo stesso procedimento su uno dei due lati uguali ottengo che il triangolo è equilatero?

[gugo82]

Potresti ragionare così.
Supponiamo che il triangolo isoperimetrico non sia equilatero, cioè che non è isoscele su ognuno dei tre lati pensato come base.
In questo caso, potresti aumentarne l'area facendolo diventare isoscele. Ma ciò è assurdo, perché il triangolo di partenza è già quello di area massima e la sua area non può essere aumentata.


P.S.: Ovviamente, questa è una dimostrazione (per assurdo) del fatto che se esiste un triangolo isoperimetrico di area massima, allora esso è equilatero.
Il problema dell'esistenza, però, in contesti elementari non si affronta quasi mai.