Teoremi di Euclide e di Pitagora

[gugo82]

Come si sa, esistono vari modi di dimostrare i teoremi di Euclide e quello di Pitagora per via geometrica.
In quasi tutti i testi che ho visto, si segue l’approccio:

[*:2x1kpqsv] $text(I T. d. Euclide)$
[/*:m:2x1kpqsv]
[*:2x1kpqsv] $text(I T. d. Euclide)\ =>\ text(T. d. Pitagora)$
[/*:m:2x1kpqsv]
[*:2x1kpqsv] $text(I T. d. Euclide) ^^ text(T. d. Pitagora)\ =>\ text(II T. d. Euclide)$[/*:m:2x1kpqsv][/list:u:2x1kpqsv]

ma è molto semplice vedere che si può fare anche lo stesso gioco partendo dal teorema di Pitagora:


[*:2x1kpqsv] $text(T. d. Pitagora)$
[/*:m:2x1kpqsv]
[*:2x1kpqsv] $text(T. d. Pitagora)\ =>\ text(II T. d. Euclide)$
[/*:m:2x1kpqsv]
[*:2x1kpqsv] $text(II T. d. Euclide) ^^ text(T. d. Pitagora)\ =>\ text(I T. d. Euclide)$.[/*:m:2x1kpqsv][/list:u:2x1kpqsv]

Quindi mi è venuta l’idea che, in fondo, i tre teoremi siano equivalenti.
Che dite?


P.S.: Credo che la risposta sia sì, dato che si può pure fare:


[*:2x1kpqsv] $text(II T. d. Euclide)$
[/*:m:2x1kpqsv]
[*:2x1kpqsv] $text(II T. d. Euclide)\ =>\ text(I T. d. Euclide)$[/*:m:2x1kpqsv][/list:u:2x1kpqsv]

e, se tanto mi dà tanto, non dovrebbe essere impossibile trovare che:


$text(II T. d. Euclide) ^^ text(I T. d. Euclide)\ =>\ text(T. d. Pitagora)$.

[gugo82]

Propongo una dimostrazione di $ text(II T. d. Euclide)\ =>\ text(I T. d. Euclide) $, ditemi che ve ne pare.

Dim.: Riferendomi alla figura:

[asvg]xmin=-3; xmax=7; ymin=-3; ymax=7;
noaxes();
line([2,3],[2,0]);
strokewidth=2;
path([[0,0],[2,3],[6.5,0],[0,0]]);
fill="yellow"; path([[0,0],[2,3],[-1,5],[-3,2],[0,0]]);
fill="cyan"; path([[0,0],[0,-2],[6.5,-2],[6.5,0],[0,0]]);
text([-0.5,2.333],"C"); text([3.25,-1],"R");
strokewidth=1; fill="none";
arc([0,-2],[2,0],2);[/asvg]

devo far vedere che \(R \doteq C\) sapendo che, con riferimento alla figura seguente, \(H \doteq R'\):

[asvg]xmin=-3; xmax=7; ymin=-3; ymax=7;
noaxes();
line([2,3],[2,0]);
strokewidth=2;
fill="lime"; path([[2,0],[2,3],[5,3],[5,0],[2,0]]);
fill="dodgerblue"; path([[2,0],[2,-2],[6.5,-2],[6.5,0],[2,0]]);
text([3.5,1.5],"H"); text([4.25,-1],"R'");
fill="none"; path([[0,0],[2,3],[6.5,0],[0,0]]);
strokewidth=1; arc([0,0],[2,-2],2);[/asvg]

Costruisco quattro triangoli rettangoli congruenti al triangolino $T$ attorno a $C$ come mostrato in figura:

[asvg]xmin=-3; xmax=7; ymin=-3; ymax=7;
noaxes();
line([2,3],[2,0]);
strokewidth=2;
path([[0,0],[2,3],[6.5,0],[0,0]]);
fill="yellow"; path([[0,0],[2,3],[-1,5],[-3,2],[0,0]]);
fill="orange"; path([[0,0],[2,0],[2,3],[0,0]]); path([[2,3],[2,5],[-1,5],[2,3]]); path([[-1,5],[-3,5],[-3,2],[-1,5]]); path([[-3,2],[-3,0],[0,0],[-3,2]]);
text([-0.5,2.333],"C"); text([1.333,1],"T");[/asvg]

ottenendo un quadrato \(Q \doteq C + 4T\); per costruzione, i lati del quadrato $Q$ sono somma della proiezione del cateto sull'ipotenusa e dell'altezza, quindi per la versione geometrica del quadrato di binomio trovo \(Q \doteq H + 4T + P\):

[asvg]xmin=-3; xmax=7; ymin=-3; ymax=7;
noaxes();
line([2,3],[2,0]);
strokewidth=2;
fill="orange"; path([[0,0],[2,0],[2,3],[0,0]]); path([[2,3],[0,3],[0,0],[2,3]]); path([[2,0],[2,-2],[5,0],[2,0]]); path([[2,-2],[5,-2],[5,0],[2,-2]]);
fill="lime"; path([[2,0],[2,3],[5,3],[5,0],[2,0]]);
fill="red"; path([[0,0],[2,0],[2,-2],[0,-2],[0,0]]);
fill="none"; path([[0,0],[2,3],[6.5,0],[0,0]]);
text([1.333,1],"T"); text([3.5,1.5],"H"); text([1,-1],"P");[/asvg]

da cui (Pitagora, praticamente) \(C \doteq H + P\):

[asvg]xmin=-3; xmax=7; ymin=-3; ymax=7;
noaxes();
line([2,3],[2,0]);
strokewidth=2;
fill="yellow"; path([[0,0],[2,3],[-1,5],[-3,2],[0,0]]);
fill="red"; path([[0,0],[2,0],[2,-2],[0,-2],[0,0]]);
fill="lime"; path([[2,0],[2,3],[5,3],[5,0],[2,0]]);
fill="none"; path([[0,0],[2,3],[6.5,0],[0,0]]);
text([-0.5,2.333],"C"); text([3.5,1.5],"H"); text([1,-1],"P");[/asvg]

e, dato che \(H \doteq R'\), trovo \(C \doteq P+R' = R\):

[asvg]xmin=-3; xmax=7; ymin=-3; ymax=7;
noaxes();
line([2,3],[2,0]);
strokewidth=2;
fill="yellow"; path([[0,0],[2,3],[-1,5],[-3,2],[0,0]]);
fill="red"; path([[0,0],[2,0],[2,-2],[0,-2],[0,0]]);
fill="dodgerblue"; path([[2,0],[2,-2],[6.5,-2],[6.5,0],[2,0]]);
fill="none"; path([[0,0],[2,3],[6.5,0],[0,0]]);
text([-0.5,2.333],"C"); text([1,-1],"P"); text([4.25,-1],"R'");[/asvg]

come volevo.

[otta96]

Il teorema di Pitagora è equivalente all'assioma delle parallele, i 2 teoremi "di Euclide" non mi sembra, ma magari sono solo io che lo ignoro.

[gugo82]

"otta96":Il teorema di Pitagora è equivalente all'assioma delle parallele […]

Questa non la sapevo.
Dove la leggo?