Teorema di De Hopital
Secondo voi e' possibile dare una dimostrazione di questo teorema senza ricorrere al teorema di cauchy?
Grazie in anticipo per le eventuali risposte che mi
verranno date!
Grazie in anticipo per le eventuali risposte che mi
verranno date!
Risposte
Beh, se restringi le ipotesi sulle funzioni in gioco, il teorema diventa un calcolo banale...
Ad esempio, nel caso di f.i. del tipo \(\frac{0}{0}\), se supponi che \(f(x)\) e \(g(x)\) siano analitiche (cioè sviluppabili in serie di potenze di centro \(x_0\)) e se chiami \(p\) e \(q\) gli ordini (necessariamente interi positivi) di \(x_0\) come zero di \(f\) e \(g\), hai:
\[
\begin{split}
\lim_{x\to x_0^\pm} \frac{f(x)}{g(x)} &= \lim_{x\to x_0^\pm} \frac{\sum_{n=p}^\infty f_n (x-x_0)^n}{\sum_{n=q}^\infty g_n (x-x_0)^n}\\
&= \lim_{x\to x_0^\pm} \frac{f_p (x-x_0)^p + \cancel{\text{o}\big((x-x_0)^p\big)}}{g_q (x-x_0)^q + \cancel{\text{o}\big((x-x_0)^q\big)}}\\
&= \lim_{x\to x_0^\pm} \frac{f_p (x-x_0)^p}{g_q (x-x_0)^q}
\end{split}
\]
e d'altra parte:
\[
\begin{split}
\lim_{x\to x_0^\pm} \frac{f^\prime (x)}{g^\prime (x)} &= \lim_{x\to x_0^\pm} \frac{\sum_{n=p}^\infty nf_n (x-x_0)^{n-1}}{\sum_{n=q}^\infty n g_n (x-x_0)^{n-1}}\\
&= \lim_{x\to x_0^\pm} \frac{ p f_p (x-x_0)^{p-1} + \cancel{\text{o}\big((x-x_0)^{p-1}\big)}}{q g_q (x-x_0)^{q-1} + \cancel{\text{o}\big((x-x_0)^{q-1}\big)}}\\
&= \frac{p}{q}\cdot \lim_{x\to x_0^\pm} \frac{p}{q}\cdot \frac{f_p (x-x_0)^p}{g_q (x-x_0)^q}
\end{split}
\]
da cui segue l'uguaglianza dei due limiti direzionali.
Se poi i limiti direzionali coincidono, dalle precedenti segue il teorema.
Ovviamente, questa soluzione è inadatta ad essere illustrata agli studenti delle superiori... Mi informo e nel caso propongo altro.
Ad esempio, nel caso di f.i. del tipo \(\frac{0}{0}\), se supponi che \(f(x)\) e \(g(x)\) siano analitiche (cioè sviluppabili in serie di potenze di centro \(x_0\)) e se chiami \(p\) e \(q\) gli ordini (necessariamente interi positivi) di \(x_0\) come zero di \(f\) e \(g\), hai:
\[
\begin{split}
\lim_{x\to x_0^\pm} \frac{f(x)}{g(x)} &= \lim_{x\to x_0^\pm} \frac{\sum_{n=p}^\infty f_n (x-x_0)^n}{\sum_{n=q}^\infty g_n (x-x_0)^n}\\
&= \lim_{x\to x_0^\pm} \frac{f_p (x-x_0)^p + \cancel{\text{o}\big((x-x_0)^p\big)}}{g_q (x-x_0)^q + \cancel{\text{o}\big((x-x_0)^q\big)}}\\
&= \lim_{x\to x_0^\pm} \frac{f_p (x-x_0)^p}{g_q (x-x_0)^q}
\end{split}
\]
e d'altra parte:
\[
\begin{split}
\lim_{x\to x_0^\pm} \frac{f^\prime (x)}{g^\prime (x)} &= \lim_{x\to x_0^\pm} \frac{\sum_{n=p}^\infty nf_n (x-x_0)^{n-1}}{\sum_{n=q}^\infty n g_n (x-x_0)^{n-1}}\\
&= \lim_{x\to x_0^\pm} \frac{ p f_p (x-x_0)^{p-1} + \cancel{\text{o}\big((x-x_0)^{p-1}\big)}}{q g_q (x-x_0)^{q-1} + \cancel{\text{o}\big((x-x_0)^{q-1}\big)}}\\
&= \frac{p}{q}\cdot \lim_{x\to x_0^\pm} \frac{p}{q}\cdot \frac{f_p (x-x_0)^p}{g_q (x-x_0)^q}
\end{split}
\]
da cui segue l'uguaglianza dei due limiti direzionali.
Se poi i limiti direzionali coincidono, dalle precedenti segue il teorema.
Ovviamente, questa soluzione è inadatta ad essere illustrata agli studenti delle superiori... Mi informo e nel caso propongo altro.
Sì intendevo proprio questo, in un precedente post, avevo scritto che se prendiamo due funzioni che siano polinomi,$f (x) $ e $g (x)$ che si annullano in $x_0$, Possiamo scrivere rispettivamente i loro polinomi di taylor in $x_0$, e avremo $lim_(x->x_0) (f(x_0)+f ^1(x_0) (x-x_0)+f^2(x_0) (x-x_0)^2/2+.......f^n(x_0)(x-x_0)^n/(n!) )/(g (x_0)+g^1(x_0)(x-x_0)+g^2(x_0)(x-x_0)^2/2.......+g^m(x_0)(x-x_0)^m/(m!)) $
Messo in questa forma , si vede bene come se anche le derivate di ordine $1$ e successive , dello stesso ordine, dei due polinomi, si annullano contemporaneamente, e' possibile passare a quelle seguenti finche' non si annullino contemporaneamente e calcolare il valore esatto del limite, in sostanza mette bene in evidenza il procedimento di reiterazione del teorema per il calcolo del limite, chiaramente questo procedimento può essere mostrato anche nel caso di funzioni analitiche cioe esprimibili in forma di serie di potenze, a questo punto mi sorgeva la seguente domanda:
se ho due funzioni non analitiche la reiterazione del teorema potrebbe non essere possibile?
Messo in questa forma , si vede bene come se anche le derivate di ordine $1$ e successive , dello stesso ordine, dei due polinomi, si annullano contemporaneamente, e' possibile passare a quelle seguenti finche' non si annullino contemporaneamente e calcolare il valore esatto del limite, in sostanza mette bene in evidenza il procedimento di reiterazione del teorema per il calcolo del limite, chiaramente questo procedimento può essere mostrato anche nel caso di funzioni analitiche cioe esprimibili in forma di serie di potenze, a questo punto mi sorgeva la seguente domanda:
se ho due funzioni non analitiche la reiterazione del teorema potrebbe non essere possibile?
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