Sulla definizione di Limite di una funzione
Buongiorno, ho una curiosità.
Leggendo in giro tra vari libri e video su youtube ho trovato diversi approcci alla definizione di limite.
Esempio: infinitesimi, usando le successioni, epslon-delta, utilizzando intorni e ce ne saranno anche altre immagino.
Secondo voi qual è la più intuitiva da spiegare o quella che dovrebbe prevalere?
Inoltre alcune sono definizioni generali altre sono più specifiche sui singoli casi.
Grazie
Leggendo in giro tra vari libri e video su youtube ho trovato diversi approcci alla definizione di limite.
Esempio: infinitesimi, usando le successioni, epslon-delta, utilizzando intorni e ce ne saranno anche altre immagino.
Secondo voi qual è la più intuitiva da spiegare o quella che dovrebbe prevalere?
Inoltre alcune sono definizioni generali altre sono più specifiche sui singoli casi.
Grazie
Risposte
"DavidGnomo":
Secondo voi qual è la più intuitiva da spiegare [...]
Nessuna.
"DavidGnomo":
[...] o quella che dovrebbe prevalere?
Quella che meglio ti serve per fare ciò che vuoi.
@David Sei interessato all'aspetto didattico o a un discorso generale sulla definizione di limite?
Se ti riferisci alla didattica, sposto l'argomento in Didattica, dove forse hai più riscontri.
Se ti riferisci alla didattica, sposto l'argomento in Didattica, dove forse hai più riscontri.
"gabriella127":
@David Sei interessato all'aspetto didattico o a un discorso generale sulla definizione di limite?
Se ti riferisci alla didattica, sposto l'argomento in Didattica, dove forse hai più riscontri.
In realtà mi interessavano entrambi gli aspetti. Sposta pure nella sezione che ritieni più opportuna
Per un discorso complessivo meglio qui, gira più gente.
Secondo me quelli più intuitivo è quello con gli intorni.
Stavo per dire la stessa cosa.
A me la definizione di limite è stata data per la prima volta al primo anno di economia con gli intorni, mai sentito prima parlare di limiti, e la trovai molto naturale.
A me la definizione di limite è stata data per la prima volta al primo anno di economia con gli intorni, mai sentito prima parlare di limiti, e la trovai molto naturale.
Visto che siamo nella sezione di Didattica etc., intervengo con qualche riflessione di natura didattico-storica, chi si scoccia di leggere il pallettone lo può saltare e la sua vita non cambierà
Da un punto di vista intuitivo-didattico, è Weierstrass che ci ha rovinato, com'è noto
Lui e la sua scuola hanno soppiantato definizioni più intuitive, usando i ben noti $\epsilon-\delta$.
(anche se, paradossalmente, negli scritti di Weierstrass di $\epsilon-\delta$ non c'è traccia, poiché è stato tutto da lui affidato a lezioni orali di cui non ha pubblicato niente, e di cui resta documentazione solo in appunti di suoi allevi, quindi la genesi e le motivazioni di questa scelta non sono di facile ricostruzione).
Prima di lui si parlava di limite in senso 'dinamico', come qualcosa che 'si avvicina' a qualcosa, a partire dalla definizione di Cauchy nel suo Course d'Analyse de L'école Royal Politecnique:
Allorché i valori successivi assunti da una stessa variabile si avvicinano indefinitamente a un valore fissato, sì da differirne alla fine tanto poco quanto si vorrà, quest'ultima quantità è chiamata il limite di tutte le altre.(Cours d'analyse, Prefazione)
Qui l'idea è molto intuitiva, 'avvicinarsi' a un valore prefissato. Con la definizione $\epsilon-\delta$ questo aspetto 'dinamico' sparisce, e il tutto viene definito in modo statico, con l'uso di quantificatori logici.
Abbandonando l'idea vaga di avvicinarsi, si guadagna in rigore, ma si rende poco intuitiva la definizione.
D'altra parte si può pensare però quanto questa idea intuitiva di avvicinamento esca dalla porta, ma poi rientra dalla finestra quando si passa a definire i limiti non più solo in $\mathbb{R}$ o $mathbb{R}^n$, ma in spazi metrici più generali, dove di parla esplicitamente di 'distanza': è il concetto di distanza che consente la definizione di convergenza negli spazi metrici.
Quando poi si passa agli spazi topologici, dove una distanza non c'è più, si passa alla nozione di 'intorno', che trovo anch'essa piuttosto intuitiva, come rilevato anche da otta96 sopra.
Diversa ancora è la vexata questio degli infinitesimi, campo di battaglia per secoli, non solo dal punto di vista teorico ma anche dal punto di vista didattico.
Nella definizione di Weierstrarss gli infinitesimi, nel senso di 'quantità infinitamente piccole', con esistenza attuale, sono stati eliminati. Questo era stato fatto già da Cauchy, che fa ampio uso del concetto di infinitesimo, ma riconducendolo al concetto di limite:
allorché i successivi valori numerici di una stessa variabile decrescono indefinitamente in modo da diventare minori di ogni numero dato, questa variabile diventa quello che si chiama un infinitesimo o una quantità infinitesima (ibid.)
Quindi qui la nozione di infinitesimo o di quantità infinitesima sarebbe solo un façon de parler per indicare un limite.
C'è però una linea di ricerca storica che ritiene che Cauchy non abbia mai abbandonato le quantità infinitamente piccole nel senso di infinitesimi attuali, e lavorasse nel campo numerico degli 'iperreali', come è stato successivamente chiamato il campo numerico che comprende gli infinitesimi.
C'è qualche storico della matematica che si farebbe tagliare una mano pur di non ammettere che Cauchy gli infinitesimi nel senso di quantità infinitamente piccole attuali non li usava.
La questione degli infinitesimi, com'è noto, ha avuto nuova vita con l'analisi non standard di Robinson, che non solo ha riabilitato gli infinitesimi dal punto di vista teorico e del rigore, ma ha riaperto la questione della loro utilità didattica.
Dico 'riaperto', perché già precedentemente era questione dibattuta.
È interessante notare come da parte dell' École Polytecnique, per i cui corsi Cauchy doveva scrivere il suo Cours d'Analyse, gli fu esplicitamente richiesto di usare le quantità infinitamente piccole per motivi didattici. Il risultato, pare di compromesso, fu l'uso diffuso da parte di Cauchy degli infinitesimi, ma definiti in base ai limiti come sopra.
L'analisi non standard nella sua formulazione originale nell'opera di Robinson è un malloppone pesante perché richiede molti concetti di logica.
Però ne sono state date versione liberate dalla logica, e quindi accessibili anche a studenti principianti, e si sostiene che c'è un vantaggio didattico dell'insegnare le nozioni di limite e derivata usando gli infinitesimi (poi si studia pure la versione consueta con $\epsilon-\delta$).
Indubbiamente l'idea di una quantità infinitamente piccola è più facile da cogliere intutivamente rispetto all'aggrovigliarsi con i quantificatori e gli $\epsilon-\delta$.
Da un punto di vista intuitivo-didattico, è Weierstrass che ci ha rovinato, com'è noto
Lui e la sua scuola hanno soppiantato definizioni più intuitive, usando i ben noti $\epsilon-\delta$.
(anche se, paradossalmente, negli scritti di Weierstrass di $\epsilon-\delta$ non c'è traccia, poiché è stato tutto da lui affidato a lezioni orali di cui non ha pubblicato niente, e di cui resta documentazione solo in appunti di suoi allevi, quindi la genesi e le motivazioni di questa scelta non sono di facile ricostruzione).
Prima di lui si parlava di limite in senso 'dinamico', come qualcosa che 'si avvicina' a qualcosa, a partire dalla definizione di Cauchy nel suo Course d'Analyse de L'école Royal Politecnique:
Allorché i valori successivi assunti da una stessa variabile si avvicinano indefinitamente a un valore fissato, sì da differirne alla fine tanto poco quanto si vorrà, quest'ultima quantità è chiamata il limite di tutte le altre.(Cours d'analyse, Prefazione)
Qui l'idea è molto intuitiva, 'avvicinarsi' a un valore prefissato. Con la definizione $\epsilon-\delta$ questo aspetto 'dinamico' sparisce, e il tutto viene definito in modo statico, con l'uso di quantificatori logici.
Abbandonando l'idea vaga di avvicinarsi, si guadagna in rigore, ma si rende poco intuitiva la definizione.
D'altra parte si può pensare però quanto questa idea intuitiva di avvicinamento esca dalla porta, ma poi rientra dalla finestra quando si passa a definire i limiti non più solo in $\mathbb{R}$ o $mathbb{R}^n$, ma in spazi metrici più generali, dove di parla esplicitamente di 'distanza': è il concetto di distanza che consente la definizione di convergenza negli spazi metrici.
Quando poi si passa agli spazi topologici, dove una distanza non c'è più, si passa alla nozione di 'intorno', che trovo anch'essa piuttosto intuitiva, come rilevato anche da otta96 sopra.
Diversa ancora è la vexata questio degli infinitesimi, campo di battaglia per secoli, non solo dal punto di vista teorico ma anche dal punto di vista didattico.
Nella definizione di Weierstrarss gli infinitesimi, nel senso di 'quantità infinitamente piccole', con esistenza attuale, sono stati eliminati. Questo era stato fatto già da Cauchy, che fa ampio uso del concetto di infinitesimo, ma riconducendolo al concetto di limite:
allorché i successivi valori numerici di una stessa variabile decrescono indefinitamente in modo da diventare minori di ogni numero dato, questa variabile diventa quello che si chiama un infinitesimo o una quantità infinitesima (ibid.)
Quindi qui la nozione di infinitesimo o di quantità infinitesima sarebbe solo un façon de parler per indicare un limite.
C'è però una linea di ricerca storica che ritiene che Cauchy non abbia mai abbandonato le quantità infinitamente piccole nel senso di infinitesimi attuali, e lavorasse nel campo numerico degli 'iperreali', come è stato successivamente chiamato il campo numerico che comprende gli infinitesimi.
C'è qualche storico della matematica che si farebbe tagliare una mano pur di non ammettere che Cauchy gli infinitesimi nel senso di quantità infinitamente piccole attuali non li usava.
La questione degli infinitesimi, com'è noto, ha avuto nuova vita con l'analisi non standard di Robinson, che non solo ha riabilitato gli infinitesimi dal punto di vista teorico e del rigore, ma ha riaperto la questione della loro utilità didattica.
Dico 'riaperto', perché già precedentemente era questione dibattuta.
È interessante notare come da parte dell' École Polytecnique, per i cui corsi Cauchy doveva scrivere il suo Cours d'Analyse, gli fu esplicitamente richiesto di usare le quantità infinitamente piccole per motivi didattici. Il risultato, pare di compromesso, fu l'uso diffuso da parte di Cauchy degli infinitesimi, ma definiti in base ai limiti come sopra.
L'analisi non standard nella sua formulazione originale nell'opera di Robinson è un malloppone pesante perché richiede molti concetti di logica.
Però ne sono state date versione liberate dalla logica, e quindi accessibili anche a studenti principianti, e si sostiene che c'è un vantaggio didattico dell'insegnare le nozioni di limite e derivata usando gli infinitesimi (poi si studia pure la versione consueta con $\epsilon-\delta$).
Indubbiamente l'idea di una quantità infinitamente piccola è più facile da cogliere intutivamente rispetto all'aggrovigliarsi con i quantificatori e gli $\epsilon-\delta$.
Io ovviamente ho conosciuto i limiti nella forma $epsilon, delta$ che trovo chiaramente intuitivi 
Diversamente da gabriella127 li trovo molto più "dinamici" e non trovo che si perda il concetto di avvicinamento (tant'è che in molte rappresentazioni intuitive a livello delle superiori si mostrano strisce che diventano sempre più strette nell'avvicinarsi al limite e queste strisce dipendono da $epsilon, delta$).
Con gli intorni devi prima introdurre concetti "topologici" (spesso senza peraltro dirlo ) e a me sembrano molto "statici" (delle isole/bolle ferme che aspettano che arrivi qualcuno )
Diversamente da gabriella127 li trovo molto più "dinamici" e non trovo che si perda il concetto di avvicinamento (tant'è che in molte rappresentazioni intuitive a livello delle superiori si mostrano strisce che diventano sempre più strette nell'avvicinarsi al limite e queste strisce dipendono da $epsilon, delta$).
Con gli intorni devi prima introdurre concetti "topologici" (spesso senza peraltro dirlo
) e a me sembrano molto "statici" (delle isole/bolle ferme che aspettano che arrivi qualcuno )
Comunque che si passa da una formulazione 'dinamica' a una 'statica' non lo dico io, ho ripreso un modo frequente di presentare le cose in testi di storia della matematica.
L'intorno è più intuitivo $\epsilon-\delta$, do' stanno $\epsilon-\delta$? L'intorno è una cosa che sta intorno, senza bisogno di topologia
L'intorno è più intuitivo $\epsilon-\delta$, do' stanno $\epsilon-\delta$? L'intorno è una cosa che sta intorno, senza bisogno di topologia
"gabriella127":
Comunque che si passa da una formulazione 'dinamica' a una 'statica' non lo dico io, ho ripreso un modo frequente di presentare le cose in testi di storia della matematica.
L'intorno è più intuitivo $\epsilon-\delta$, do' stanno $\epsilon-\delta$? L'intorno è una cosa che sta intorno, senza bisogno di topologia
Questo passaggio da dinamico a statico, se la memoria non mi inganna, lo lessi sul volume 4 del corso di matematica sperimentale di Battelli. E lui usa gli intorni.
In quel libro fa uso degli intorni.
Diversamente, su di un corso di analisi su YouTube della sapienza (Camilli se non erro) fa uso delle successioni e non ci ho capito un Cauchy ahahhahaha (anche se dopo presenta la meno preferita epslon delta)
Che intendi per definizione con le successioni e poi $\epsilon-\delta$? Il teorema ponte?
Camilli forse ha fatto il contrario di quello che si fa più usualmente, prima la definizione $\epsilon-\delta$ e poi il legame con le successioni con il teorema ponte?
Camilli forse ha fatto il contrario di quello che si fa più usualmente, prima la definizione $\epsilon-\delta$ e poi il legame con le successioni con il teorema ponte?
Ciao Gabriella, ecco il filmato. Lui definisce il limite di una funzione utilizzando le successioni e la preferisce alla definizione espilon-delta (vedere i primi minuti del filmato):
https://www.youtube.com/watch?v=oKfXGf0W-Fo&list=PLAQopGWlIcyZlCmXWE_KvtMi57Mwbyf6C&index=18
https://www.youtube.com/watch?v=oKfXGf0W-Fo&list=PLAQopGWlIcyZlCmXWE_KvtMi57Mwbyf6C&index=18
Ho visto, è quello che dicevo, però non ho sentito dopo se dice perché la preferisce.
"gabriella127":
Qui l'idea è molto intuitiva, 'avvicinarsi' a un valore prefissato. Con la definizione $\epsilon-\delta$ questo aspetto 'dinamico' sparisce, e il tutto viene definito in modo statico, con l'uso di quantificatori logici.
Abbandonando l'idea vaga di avvicinarsi, si guadagna in rigore, ma si rende poco intuitiva la definizione.
Non direi che si perde l'aspetto dinamico, ma che lo si formalizza.
C'è però una linea di ricerca storica che ritiene che Cauchy non abbia mai abbandonato le quantità infinitamente piccole nel senso di infinitesimi attuali, e lavorasse nel campo numerico degli 'iperreali', come è stato successivamente chiamato il campo numerico che comprende gli infinitesimi.
Non ce ne è mica solo uno però, i campi con gli infinitesimi si chiamano non archimedei.
"gabriella127":
Ho visto, è quello che dicevo, però non ho sentito dopo se dice perché la preferisce.
La preferisce perché più generale e non è necessario specificare i singoli casi. Lo dice un po' dopo.
In questo caso preferisco la definizione cc on intorni
"otta96":
[quote="gabriella127"]Qui l'idea è molto intuitiva, 'avvicinarsi' a un valore prefissato. Con la definizione $ \epsilon-\delta $ questo aspetto 'dinamico' sparisce, e il tutto viene definito in modo statico, con l'uso di quantificatori logici.
Abbandonando l'idea vaga di avvicinarsi, si guadagna in rigore, ma si rende poco intuitiva la definizione.
Non direi che si perde l'aspetto dinamico, ma che lo si formalizza.
.[/quote]
Non è che si perde l'aspetto dinamico, se lo si cerca e si ricostruisce, ma non c'è nulla nella formulazione come 'avvicinarsi' di esplicito, nessun riferimento a un 'movimento', e per l'intuizione immediata sì, si perde, mi pare.
Parlavamo di cosa era intuitivo, bisogna pensarci e fare un detour grafico o logico.
E francamente l'idea di avvicinamento è piuttosto contorta da districare, non hai l'idea che più $x$ si avvicina a un valore $x_0$ la funzione si avvicina al limite $L$.
Pensa che per vedere le 'strisce' invece di partire da $x$ che va verso $x_0$ e poi la funzione che va verso $L$, devi partire al contrario da $\epsilon$ (da 'per ogni $\epsilon$...') e dalla striscia intorno a $L$, e poi ti trovi $\delta$ più piccoli, e l'intervallo in cui c'è la $x$, e ti devi andare a ripescare le $x$.
È una notevole circonvoluzione.
In effetti, mi pare che per ricondursi dall' $\epsilon-\delta$ alla idea intuitiva à la Cauchy, che se $x$ si avvicina a $x_0$ allora $f(x)$ si avvicina a $L$, si può ricorrere proprio al teorema ponte (e quindi alla definizione di limite tramite successioni citata da DavidGnomo): per qualunque successione di numeri reali ${x_n}$ diversi da $x_0$ che tende a $x_0$ si ha che la successione $f(x_n)$ tende a $L$.
Che non ha una dimostrazione difficile, ma non è proprio ciò che balza agli occhi a uno studente principiante.
Naturalmente non è una critica alla formulazione $\epsilon-\delta$, è solo che quanto più ci si allontana dal linguaggio comune si guadagna in precisione e rigore ma si perde in intuizione immediata.
@DavidGnomo Tu che hai i libri di De Marco (mi sono ricordata che ce li hai e ho guardato), guarda come fa De Marco in Analisi Uno.
Dà per prima la definizione di limite di funzioni tramite le successioni, come nel video di Camilli da te linkato.
Poi dà una definizione alternativa di limite di una funzione usando gli intorni (senza $\epsilon-\delta$), e dimostra l'equivalenza delle due definizioni (questa equivalenza che lega limiti di funzioni a limiti di successioni è quello spesso chiamato 'teorema ponte').
E poi dopo, se $L$ e $x_0$ sono finiti, dà anche la definizione $\epsilon-\delta$.
Dà per prima la definizione di limite di funzioni tramite le successioni, come nel video di Camilli da te linkato.
Poi dà una definizione alternativa di limite di una funzione usando gli intorni (senza $\epsilon-\delta$), e dimostra l'equivalenza delle due definizioni (questa equivalenza che lega limiti di funzioni a limiti di successioni è quello spesso chiamato 'teorema ponte').
E poi dopo, se $L$ e $x_0$ sono finiti, dà anche la definizione $\epsilon-\delta$.
"gabriella127":
@DavidGnomo Tu che hai i libri di De Marco (mi sono ricordata che ce li hai e ho guardato), guarda come fa De Marco in Analisi Uno.
Dà per prima la definizione di limite di funzioni tramite le successioni, come nel video di Camilli da te linkato.
Poi dà una definizione alternativa di limite di una funzione usando gli intorni (senza $\epsilon-\delta$), e dimostra l'equivalenza delle due definizioni (questa equivalenza che lega limiti di funzioni a limiti di successioni è quello spesso chiamato 'teorema ponte').
E poi dopo, se $L$ e $x_0$ sono finiti, dà anche la definizione $\epsilon-\delta$.
Si, anche altri libri procedono prima con il limite della successione e poi con quella epslon-delta.
Devo essere sincero...quella della successione l' ho sempre saltata a piè pari ahahhah. Fortuna che non devo fare esami:-D
"gugo82":
[quote="DavidGnomo"]Secondo voi qual è la più intuitiva da spiegare [...]
Nessuna.[/quote]
Ben detto. Se proprio devo sceglierne una, usando gli intorni.
Nelle mie classi quinte deboli salto totalmente qualsiasi tentativo di definire i limiti, fermandomi a "tanto più $x$ si avvicina a $x_0$, tanto più $y$ si avvicina a $l$", mostrando qualche esempio con GeoGebra.
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