Suggerimento in merito alla moltiplicazione
Buongiorno.
Mi trovo nella circostanza di aiutare un bambino nello svolgimento di alcuni esercizi di matematica basilare, ovvero moltiplicazioni e divisioni. Lui si trova in prima media ma ha diverse difficoltà, pertanto sto cercando di assisterlo. Recentemente ha mosso un'obiezione sulla definizione di moltiplicazione e divisione che ho trovato interessante. Vi propongo la questione per cercare un suggerimento su come rispondere a questo giovane studente.
Si voglia eseguire il seguente conto: \(\displaystyle 4 · 0,5 =2 \)
Esso coinvolge un numero razionale, inferiore ad uno.
Il bambino ha difficoltà nel concepire il senso di questa moltiplicazione senza ricorrere ad una divisione. Trova pertanto che questa "scrittura" della moltiplicazione sia in sostanza inutilizzabile, e che tradisca la definizione stessa di moltiplicazione. Lui necessita infatti di ricorrere alle seguenti strade per effettuare questo tipo di calcolo:
1) Sfruttare la proprietà commutativa della moltiplicazione, ponendo:
\(\displaystyle 4 · 0,5 = 0,5 · 4 = 0,5+0,5+0,5+0,5 \)
Con questa strategia il bambino riesce a ricondursi alla definizione di moltiplicazione come "somma ripetuta di un numero", dando un senso logico al problema in esame.
2) Scrivere lo \(\displaystyle 0,5 \) come frazione, ponendo:
\(\displaystyle 4 · 0,5= 4 · 1/2 = 4/2 = 2 \)
Con questa seconda strada si concepisce lo \(\displaystyle 0,5 \) come la metà di uno. Il problema viene letto quindi come "prendere il numero \(\displaystyle 4 \) metà volta" e pertanto quella che appariva una moltiplicazione diviene di
fatto una divisione.
L'obiezione mossa riguarda quindi il fatto che la scrittura "\(\displaystyle 4 · 0,5 \)" non può essere "sfruttata" ne concepita in alcun modo se non mediante una manipolazione che faccia ricorso alla proprietà commutativa (dove prendere \(\displaystyle 0,5 \) per \(\displaystyle 4 \) volte acquista finalmente di significato) oppure trasformare la moltiplicazione in una divisione (prendere \(\displaystyle 4 \) per metà volta, ovvero dividerlo per \(\displaystyle 2 \)).
Effettivamente questa considerazione mi ha posto in imbarazzo, in quanto moltiplicazione e divisone vengono insegnate come due operazioni ben distinte, l'una l'inverso dell'altra. Nel momento in cui si moltiplica un numero per un altro numero inferiore ad \(\displaystyle 1 \), io stesso ricorro mentalmente ad una divisione e pertanto la sintassi relativa alla moltiplicazione sembra perdere di giustificazione.
Naturalmente il conto potrebbe essere condotto mediante le regole relative al prodotto di numeri con la virgola, ma è il concetto di moltiplicazione che si tramuta mentalmente in una divisione che turba il giovane in questione.
In altre parole il bambino afferma: perché mai scrivere \(\displaystyle 4 * 0,5 \) se tanto necessito di invertire i numeri (proprietà commutativa) oppure devo effettuare una divisione (l'inverso della moltiplicazione)?
Voi cosa rispondereste?
Mi trovo nella circostanza di aiutare un bambino nello svolgimento di alcuni esercizi di matematica basilare, ovvero moltiplicazioni e divisioni. Lui si trova in prima media ma ha diverse difficoltà, pertanto sto cercando di assisterlo. Recentemente ha mosso un'obiezione sulla definizione di moltiplicazione e divisione che ho trovato interessante. Vi propongo la questione per cercare un suggerimento su come rispondere a questo giovane studente.
Si voglia eseguire il seguente conto: \(\displaystyle 4 · 0,5 =2 \)
Esso coinvolge un numero razionale, inferiore ad uno.
Il bambino ha difficoltà nel concepire il senso di questa moltiplicazione senza ricorrere ad una divisione. Trova pertanto che questa "scrittura" della moltiplicazione sia in sostanza inutilizzabile, e che tradisca la definizione stessa di moltiplicazione. Lui necessita infatti di ricorrere alle seguenti strade per effettuare questo tipo di calcolo:
1) Sfruttare la proprietà commutativa della moltiplicazione, ponendo:
\(\displaystyle 4 · 0,5 = 0,5 · 4 = 0,5+0,5+0,5+0,5 \)
Con questa strategia il bambino riesce a ricondursi alla definizione di moltiplicazione come "somma ripetuta di un numero", dando un senso logico al problema in esame.
2) Scrivere lo \(\displaystyle 0,5 \) come frazione, ponendo:
\(\displaystyle 4 · 0,5= 4 · 1/2 = 4/2 = 2 \)
Con questa seconda strada si concepisce lo \(\displaystyle 0,5 \) come la metà di uno. Il problema viene letto quindi come "prendere il numero \(\displaystyle 4 \) metà volta" e pertanto quella che appariva una moltiplicazione diviene di
fatto una divisione.
L'obiezione mossa riguarda quindi il fatto che la scrittura "\(\displaystyle 4 · 0,5 \)" non può essere "sfruttata" ne concepita in alcun modo se non mediante una manipolazione che faccia ricorso alla proprietà commutativa (dove prendere \(\displaystyle 0,5 \) per \(\displaystyle 4 \) volte acquista finalmente di significato) oppure trasformare la moltiplicazione in una divisione (prendere \(\displaystyle 4 \) per metà volta, ovvero dividerlo per \(\displaystyle 2 \)).
Effettivamente questa considerazione mi ha posto in imbarazzo, in quanto moltiplicazione e divisone vengono insegnate come due operazioni ben distinte, l'una l'inverso dell'altra. Nel momento in cui si moltiplica un numero per un altro numero inferiore ad \(\displaystyle 1 \), io stesso ricorro mentalmente ad una divisione e pertanto la sintassi relativa alla moltiplicazione sembra perdere di giustificazione.
Naturalmente il conto potrebbe essere condotto mediante le regole relative al prodotto di numeri con la virgola, ma è il concetto di moltiplicazione che si tramuta mentalmente in una divisione che turba il giovane in questione.
In altre parole il bambino afferma: perché mai scrivere \(\displaystyle 4 * 0,5 \) se tanto necessito di invertire i numeri (proprietà commutativa) oppure devo effettuare una divisione (l'inverso della moltiplicazione)?
Voi cosa rispondereste?
Risposte
Che usi la strategia che gli è più congeniale, l'importante è che gli venga il risultato giusto
I media?
$4*0,5$ equivale a chiedere: "quanti soldi hai se nel portamonete ci sono 4 monete da 50 centesimi?"
Mi sembra più che sufficiente IMHO
I media?
$4*0,5$ equivale a chiedere: "quanti soldi hai se nel portamonete ci sono 4 monete da 50 centesimi?"
Mi sembra più che sufficiente IMHO
"gio73":
$4*0,5$ equivale a chiedere: "quanti soldi hai se nel portamonete ci sono 4 monete da 50 centesimi?"
Io piuttosto farei "0,50 € per quattro volte, ergo 0,50*4".
Cmq è una questione concettuale la sua, non ha problemi ad applicare quelle strategie. Gli da fastidio che una moltiplicazione possa diventare una divisione, come se questo "infrangesse" il fatto che moltiplicazione e divisione vadano distinte come due operazioni differenti (e in genere inverse). Ha l'impressione che scriviamo una moltiplicazione ma in realtà risolviamo una divisione, e non per scelta, ma perché non facendolo non sapremmo risolvere quel conto, a meno di invertire i numeri in gioco mediante la proprietà commutativa.
Spiegagli che esistono i numeri razionali, i quali hanno la caratteristica che per ognuno di essi esiste il "reciproco" ovvero quel numero che moltiplicato per il suo "originatore" dà $1$.
Naturalmente dovrai spiegargli come si ottengono e puoi provare con le coppie di interi in cui definisci le operazioni di somma e moltiplicazione.
Naturalmente dovrai spiegargli come si ottengono e puoi provare con le coppie di interi in cui definisci le operazioni di somma e moltiplicazione.
Non vedo la necessità della proprietà commutativa, il linguaggio usato per leggere una moltiplicazione racchiude al suo interno la commutatività.
$4*0,50$ si può leggere in due modi
1) "4 per 0,50" quindi in pratica la metà di 4,
2) "4 volte 0,50" quindi scrivere appunto per 4 volte l'addendo 0,50.
$4*0,50$ si può leggere in due modi
1) "4 per 0,50" quindi in pratica la metà di 4,
2) "4 volte 0,50" quindi scrivere appunto per 4 volte l'addendo 0,50.
"@melia":
$4*0,50$ si può leggere in due modi
1) "4 per 0,50" quindi in pratica la metà di 4,
2) ...
Ti rispondo come direbbe lui: "nel valutare la metà di 4 non ricorri forse ad una divisione? Ovvero 4:2. Eppure si parlava di svolgere una moltiplicazione".
L'hai letto il mio commento? Spiegagli che esistono i razionali che sono ALTRI numeri rispetto ai naturali ovvero che non esistono solo questi ultimi ma altre tipologie di numeri per scopi che i naturali non riescono a coprire ...
"axpgn":
L'hai letto il mio commento? Spiegagli che esistono i razionali che sono ALTRI numeri rispetto ai naturali ovvero che non esistono solo questi ultimi ma altre tipologie di numeri per scopi che i naturali non riescono a coprire ...
Effettivamente ho pensato al fatto che i numeri razionali, che possono essere espressi come frazione mediante numeri interi, esigono di conoscere il concetto di "divisione". La quantità 0,5 é di fatto esprimibile come 1/2, pertanto introduce inevitabilmente una divisione.
Sotto quest'ottica, scrivendo 4 x 0.5 si nasconde in realtà un operazione che comprende necessariamente anche una divisione, a causa dell'entità razionale di 0,5.
Infatti scrivendo 4 x 1/2 possiamo moltiplicare i numeratori mediante la solita definizione di "somma ripetuta di un numero" e dopodiché dividere il tutto per 2. É però un ragionento che ho fatto tra me e me, e non so se é il modo piú corretto per sbigliare questa sua perplessità.
Il fatto é che di base ha ragione: scriviamo una moltiplicazione ma alla fine ci ritroviamo a dividere. Questo lo rende confuso in quanto non vede piú una differenza tra moltiplicare e dividere.
Possibile che nell'insieme Q dei numeri razionali la moltiplicazione goda di una definizione piú "forbita"?
"tmox":
Effettivamente ho pensato al fatto che i numeri razionali, che possono essere espressi come frazione mediante numeri interi, esigono di conoscere il concetto di "divisione".
Per niente.
Un modo di definire i razionali è quello con le coppie di naturali (sarebbe meglio con gli interi ma semplifico)
Ovvero ogni numero razionale è rappresentato da una coppia ordinata di numeri naturali $(a,b)$ in cui $b$ è diverso da zero e sull'insieme di queste coppie vengono definite l'uguaglianza, la somma e la moltiplicazione nel seguente modo.
Due razionali $(a,b)$ e $(c,d)$ sono uguali se $a*d=b*c$.
La somma di due razionali è definita così: $(a,b)+(c,d)=(ad+bc,bd)$
La moltiplicazione di due razionali è definita così: $(a,b)*(c,d)=(ac,bd)$
Il numero $0.5$ non è che la rappresentazione decimale del razionale $(1,2)$ nel modo sopraddetto.
Come vedi la divisione non compare mai.
Cordialmente, Alex
"axpgn":
Per niente.
Il numero $0.5$ non è che la rappresentazione decimale del razionale $(1,2)$ nel modo sopraddetto.
Come vedi la divisione non compare mai.
Sono d'accordo, però non vedo come si possa concepire, ad esempio, il numero \(\displaystyle 0,13 \) se non pensando che si tratta del \(\displaystyle 13 \)% di \(\displaystyle 1 \). La percentuale si calcola con una divisione. Non vedo un modo per parlare di razionali prescindendo realmente dal concetto di divisione.
Se vogliamo calcolare \(\displaystyle 4 · 0,13 \) , stiamo cercando quel numero che sta a \(\displaystyle 4 \) come \(\displaystyle 13 \) sta a \(\displaystyle 100 \). Abbiamo di nuovo un rapporto, una divisone.
Possiamo limitarci a porla così: qualcuno riesce a descrivere il significato dello \(\displaystyle 0,13 \) di \(\displaystyle 4 \) senza parlare di divisioni né percentuali (che richiedono comunque una divisione)? Credo (e spero) che una simile performance sarebbe sufficiente a convincere il mio giovanotto del fatto che la scrittura "\(\displaystyle 4 · 0.13 \)" sia degna di essere utilizzata senza doverla necessariamente invertire con la proprietà commutativa oppure convertire in una divisione.
… E ammesso che si riesca a definirlo, riuscite poi a calcolare effettivamente quel numero senza ricorrere implicitamente ad una divisione? Si potrebbe pensare alla moltiplicazione in colonna, ma le regole relative al posizionamento della virgola "nascondono" ancora una volta un inevitabile riferimento al concetto di "rapporto" tra numeri (decine, centinaia, migliaia).
Non credo sia così semplice, per questo ho trovato interessante la domanda. E' forse più filosofica che non numerica, ma credo abbia il suo perché.
Come ti ho già detto, ma che sembra tu non abbia compreso, se $4*0,13$ lo leggi "4 volte 0,13" la proprietà commutativa non serve, è già insita nel linguaggio.
Volendo essere piuttosto tranchant, andando avanti il ragazzo imparerà che c’è molto nella Matematica elementare che non si conforma alla sua intuizione o alle sue volizioni.
Tutto sta ad abituarsi a questo fatto, a farsene una ragione ed a trovare comunque strategie per risolverei problemi.
Inoltre, non vedo cosa ci sia da stupirsi se, come ovvio che sia, è l’idea stessa di numero decimale (o di sottomultiplo) in sé porta l’idea di divisione.
Tutto sta ad abituarsi a questo fatto, a farsene una ragione ed a trovare comunque strategie per risolverei problemi.
Inoltre, non vedo cosa ci sia da stupirsi se, come ovvio che sia, è l’idea stessa di numero decimale (o di sottomultiplo) in sé porta l’idea di divisione.
"tmox":
Sono d'accordo, però non vedo come si possa concepire, ad esempio, il numero \(\displaystyle 0,13 \) se non pensando che si tratta del \(\displaystyle 13 \)% di \(\displaystyle 1 \). La percentuale si calcola con una divisione. Non vedo un modo per parlare di razionali prescindendo realmente dal concetto di divisione.
Non è così, rileggi il mio post dove ti ho dimostrato che posso definire (e usare) i razionali definendo solo l'addizione e la moltiplicazione
"tmox":
Possiamo limitarci a porla così: qualcuno riesce a descrivere il significato dello \( \displaystyle 0,13 \) di \( \displaystyle 4 \) senza parlare di divisioni né percentuali (che richiedono comunque una divisione)?
L'ho fatto prima ma non hai letto il post … il numero decimale $0.13$ corrisponde al razionale $(13, 100)$, il numero $4$ corrisponde al razionale $(4, 1)$ e $0.13 * 4$ corrisponde a $(13, 100) * (4, 1) = (13*4, 100*1) = (52, 100) = (13, 25)$.
Nessuna divisione.
"tmox":
… E ammesso che si riesca a definirlo, riuscite poi a calcolare effettivamente quel numero senza ricorrere implicitamente ad una divisione?
Anche qui confondi "calcolare" con "rappresentazione decimale".
Qui sopra ho calcolato $0.13 * 4$ senza usare la divisione e quello che ho trovato è il risultato esatto (cioè il razionale $(13, 25)$, non puoi dire che non va bene solo perché non corrisponde alla TUA idea di numero razionale.
Gli antichi non usavano i numeri decimali eppure i conti li facevano lo stesso.
Usavano le frazioni ma questo non significa che facessero necessariamente delle divisioni, per loro $1/3$ era "un terzo" non "uno diviso tre" che non avrebbe avuto alcun significato (nell'ottocento era ancora prevalente l'uso delle frazioni nei conteggi piuttosto che i decimali)
Cordialmente, Alex
Il bambino sembra essere decisamente intelligente. Gli potresti dire molto semplicemente, a livello intuitivo, che $4x0.5$ è come dire 'quattro ripetuto mezza volta', in linea con il suo linguaggio delle moltiplicazioni, e che in effetti coincide con una divisione a metà, sono due modi diversi di vedere la stessa cosa. Così penso risponderesti alla sua 'domanda filosofica', che non è affatto sciocca, denota capacità di pensiero.
"gugo82":
Inoltre, non vedo cosa ci sia da stupirsi se, come ovvio che sia, è l’idea stessa di numero decimale (o di sottomultiplo) in sé porta l’idea di divisione.
Concordo, ma non tutti si direbbe.
"@melia":
Come ti ho già detto, ma che sembra tu non abbia compreso, se $4*0,13$ lo leggi "4 volte 0,13" la proprietà commutativa non serve, è già insita nel linguaggio.
E' mia opinione che la libertà con la quale scegli come leggere quel prodotto derivi dalla sua proprietà commutativa, e che non sia il tuo linguaggio a determinarla.
"axpgn":
il numero decimale $ 0.13 $ corrisponde al razionale $ (13, 100) $, il numero $ 4 $ corrisponde al razionale $ (4, 1) $ e $ 0.13 * 4 $ corrisponde a $ (13, 100) * (4, 1) = (13*4, 100*1) = (52, 100) = (13, 25) $
Io ho capito perfettamente la definizione della quale fai uso, ma con questo approccio basico hai ottenuto un numero razionale \(\displaystyle (13,25) \) definibile come frazione in "\(\displaystyle 13/25 \)". Non è questo il problema concettuale. Anche lui sa farlo (con notazioni diverse). Tuttavia per ottenere l'espressione decimale a partire da una frazione debbo ricorrere ad una divisione. Il problema è quindi solo rimandato. Il mio ragazzo imposta un conto mediante numeri decimali, e si aspetterebbe che il risultato sia espresso nel medesimo modo. Volendo soddisfare questa sua necessità, il prodotto \(\displaystyle 4 · 0,5 \) richiede di valutare la forma decimale di \(\displaystyle 4/2 \). Cioè alla fine dei conti abbiamo valutato la metà di \(\displaystyle 4 \) mediante una divisione. Saranno anche due modi di scrivere lo stesso numero, ma alla fin fine dalla divisione non si scappa.
"axpgn":
Gli antichi non usavano i numeri decimali eppure i conti li facevano lo stesso.
Usavano le frazioni ma questo non significa che facessero necessariamente delle divisioni, per loro $ 1/3 $ era "un terzo" non "uno diviso tre" che non avrebbe avuto alcun significato (nell'ottocento era ancora prevalente l'uso delle frazioni nei conteggi piuttosto che i decimali)
Aspetto storico molto interessante, e che arricchisce anche me. Però con un ragazzo come lui è anche necessario essere pragmatici.
Non possiamo chiedere di disegnare una retta lunga \(\displaystyle 34/127 \) di metro. E' da pazzi. Non mi stupisce che nel tempo la notazione decimale abbia preso posto.
Il tuo messaggio mi ha spinto però a ragionare sul fatto che la frazione può essere intesa come un operatore (calcolare \(\displaystyle 4/5 \) di litro comporta una moltiplicazione ma anche una divisione: ovvero valutare la quinta parte di \(\displaystyle 4 \) litri).
Mi chiedo per la prima volta se anche un numero decimale, che è soltanto una rappresentazione alternativa di una frazione, possa definirsi un operatore.
D'altronde:
\(\displaystyle 4 · 0,5 = 4 · (1 : 2 ) \)
Ecco che, in quest'ottica, il "numero" \(\displaystyle 0,5 \) può essere sostituito da due interi interagenti mediante una divisione, tramutando così il conto in un'espressione che contiene anche una divisione.
Mi chiedo allora se sia opportuno sciogliere la sua perplessità considerando che un numero razionale in forma decimale altro non è che un "oggetto" che rappresenta la divisione tra due numeri interi… divisione che può quindi essere sostituita al numero decimale stesso, giustificando l'inevitabile divisione alla quale andiamo incontro. In questo senso il decimale appare più come un "simbolo" da interpretare, che non un numero che può essere usato in modo semplice nella moltiplicazione. Resta il fatto che lui \(\displaystyle 4 · 0,5 \) non riesce proprio ad intenderlo mediante la definizione di moltiplicazione. Lo stesso per \(\displaystyle 0,3 · 0,7 \), o magari \(\displaystyle 2 · 0,89 \). E' come se questa scrittura non avesse alcun senso a meno di accogliere il concetto di divisione. Lui pretende di svolgere la moltiplicazione \(\displaystyle 4 · 0,5 \) come somma ripetuta di \(\displaystyle 4 \), ma questo naturalmente non è fattibile.
La somma ripetuta sarebbe possibile scrivendo \(\displaystyle 0,5 · 4 = 0,5 + 0,5 + 0,5 + 0,5 \)
Ma non invertendo i numeri. Pertanto percepisce una "cricca" nella definizione di moltiplicazione.
E qui mi rifaccio a gabriella127:
"gabriella127":
Il bambino sembra essere decisamente intelligente. Gli potresti dire molto semplicemente, a livello intuitivo, che $ 4x0.5 $ è come dire 'quattro ripetuto mezza volta', in linea con il suo linguaggio delle moltiplicazioni, e che in effetti coincide con una divisione a metà, sono due modi diversi di vedere la stessa cosa. Così penso risponderesti alla sua 'domanda filosofica', che non è affatto sciocca, denota capacità di pensiero.
Suggerimento molto valido, che in realtà ricalca il mio modo di vederla. Proverò ad insistere su questo aspetto.
Prevedo però che un conto come \(\displaystyle 0,5 · 0,168 \) renderebbe nuovamente ostico non contemplare una percentuale, o quanto meno una frazione che esprima quel numero mediante numeri interi. Inoltre vedremo se ammettere che sono "due modi di vedere la stessa cosa" non contribuisca ad accrescere la sua confusione sul fatto che divisione e moltiplicazione perdano di distinzione.
In attesa di rivedere il ragazzo martedì, vi ringrazio di cuore per la partecipazione a questo mio post. Qualunque altro suggerimento (o, perchè no, dissenso) sarà ben accetto.
Non riesco a capire qui:
Innanzitutto, in Matematica tutto è simbolo è tutto va interpretato, anche se a volte la convenzionalità delle cose lascia la mente libera dalle preoccupazioni.
Ad esempio, $11 + 10 = 101$ è un’operazione svolta correttamente anche se con le convenzioni adottate usualmente non si direbbe. Perché?
In secondo luogo, non vedo cosa ci sia di difficile nell’usare $0.5$ in una moltiplicazione. La moltiplicazione in colonna ha le sue regole e $4*0.5$ non mi pare faccia eccezione… Certo che se continuo a considerare la moltiplicazione solo come mi hanno insegnato in seconda elementare ($n * m = text(prendo ) n text( esattamente ) m text( volte)$) senza evolvere, non ne esco.
Inoltre, i numeri interi sono numeri decimali con parte decimale nulla (o, se vuoi complicarti la vita, numeri con parte decimale uguale a $bar(9)$), quindi non c’è fondamentale distinzione tra le cose.
In questo senso il decimale appare più come un "simbolo" da interpretare, che non un numero che può essere usato in modo semplice nella moltiplicazione.
Innanzitutto, in Matematica tutto è simbolo è tutto va interpretato, anche se a volte la convenzionalità delle cose lascia la mente libera dalle preoccupazioni.
Ad esempio, $11 + 10 = 101$ è un’operazione svolta correttamente anche se con le convenzioni adottate usualmente non si direbbe. Perché?
In secondo luogo, non vedo cosa ci sia di difficile nell’usare $0.5$ in una moltiplicazione. La moltiplicazione in colonna ha le sue regole e $4*0.5$ non mi pare faccia eccezione… Certo che se continuo a considerare la moltiplicazione solo come mi hanno insegnato in seconda elementare ($n * m = text(prendo ) n text( esattamente ) m text( volte)$) senza evolvere, non ne esco.
Inoltre, i numeri interi sono numeri decimali con parte decimale nulla (o, se vuoi complicarti la vita, numeri con parte decimale uguale a $bar(9)$), quindi non c’è fondamentale distinzione tra le cose.
"tmox":
Inoltre vedremo se ammettere che sono "due modi di vedere la stessa cosa" non contribuisca ad accrescere la sua confusione sul fatto che divisione e moltiplicazione perdano di distinzione.
Ancora una volta il ragazzino non è scemo. Ha colto una cosa vera, che c'è collegamento tra moltiplicazione e divisione. Che dirgli? In questi casi, molto dipende dalla conoscenza proprio 'a pelle' della persona che ci sta di fronte, cosa che tu fai, e noi possiamo fare solo un po' a distanza. Gli si potrebbe dire che in effetti ha ragione (tocca dirgli la verità), ha colto un collegamento tra moltiplicazione e divisione, anche se gliele hanno presentate come operazioni distinte. Però di non preoccuparsi al momento perché questa sua domanda sarà chiarita più in là. Caso mai gli si può dare qualche cenno di spiegazione per non frustrarlo, ma se e come lo puoi sapere solo tu conoscendo il ragazzino.
"tmox":
Io ho capito perfettamente la definizione della quale fai uso, ma con questo approccio basico hai ottenuto un numero razionale \(\displaystyle (13,25) \) definibile come frazione in "\(\displaystyle 13/25 \)"
No, non so più come ripeterlo …
Sei tu che continui a volerci vedere una frazione o un numero decimale, ma con la convenzione che ho adottato la divisione non c'è né ci sono frazioni e numeri decimali.
Certamente c'è collegamento fra le tre rappresentazioni ma le ultime due non sono necessarie, puoi farne completamente a meno; con ciò non voglio dire che non sia utile usare frazioni e decimali, anzi, ma solamente che puoi farne a meno se ti dà fastidio il concetto di divisione. Punto.
"tmox":
Tuttavia per ottenere l'espressione decimale a partire da una frazione debbo ricorrere ad una divisione. … … … Però con un ragazzo come lui è anche necessario essere pragmatici.
Ma allora non è più un problema "filosofico" e "concettuale" di cui parlavi prima e che sembrava fosse la preoccupazione del ragazzo; dovresti metterti d'accordo con te stesso …
Allora diventa un "banale" problema tecnico di "equivalenza di rappresentazione" ...
Cordialmente, Alex
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