Storia del Polinomio di taylor
Sto cercando di assimilare bene tale argomento, a tal fine ho consultato più di un testo di analisi e dispense in rete, in pochissimi casi ho trovato dei cenni storici sull'argomento, in particolare sull'idea fondamentale da cui ha iniziato e sviluppato l'argomento, il suo scopritore Taylor, non so se erroneamente, ma dal materiale che ho consultato mi sembra che alla base ci sia un idea intuitiva molto semplice : supponiamo che una curva ne tocchi un altra nel punto P, e che le due curve ammettano in P la stessa tangente, inoltre abbiano anche la stessa variazione di pendenza in prossimità del punto P,in ultima analisi le due curve coincidono nell'intorno P, e pertanto hanno la derivata prima e seconda coincidenti;
a questo punto mi sono chiesto, se hanno anche la derivata terza coincidente, la coincidenza nell'intorno P tra le due curve migliorerà ancora?
mi sbaglio?
Sarei grato se qualcuno mi potesse fornire delle delucidazioni a riguardo!
Cordiali saluti!
a questo punto mi sono chiesto, se hanno anche la derivata terza coincidente, la coincidenza nell'intorno P tra le due curve migliorerà ancora?
mi sbaglio?
Sarei grato se qualcuno mi potesse fornire delle delucidazioni a riguardo!
Cordiali saluti!
Risposte
Quando due funzioni, in un punto $x_0$, hanno tutte le derivate coincidenti fino alla $n$-esima si dice che hanno un contatto di ordine $n$.
Maggiore è l'ordine di contatto, più grande sarà l'intervallo di "sovrapposizione"[nota]sovrapporsi non significa matematicamente niente. la sovrapposizione dei grafici infatti dipende dal "livello di zoom" e l'unico contatto vero e proprio si ha nel punto $x_0$[/nota] dei due grafici.
Intuitivamente la puoi vedere così: $f(x_0) = g(x_0)$ significa che le funzioni in quel punto si toccano, ma, senza altre informazioni, spostandoci di un pochino da $x_0$ potrebbero essere molto diverse tra loro (i grafici localmente potrebbero addirittura essere ortogonali!).
Specificando $f'(x_0) = g'(x_0)$ la cosa migliora. In quel punto i due grafici devono avere necessariamente la stessa retta tangente. Con la derivata seconda ci assicuriamo che pure la concavità sia la stessa, e quindi o sono entrambe concave o entrambe convesse.
Capisci bene, quindi, che possiamo continuare con questo ragionamento e, maggiore sarà l'ordine di contatto, maggiore sarà l'intorno di $x_0$ in cui i grafici si "sovrappongono".
Spero di averti un pochino aiutato a capire, altrimenti non farti problemi a chiedere.
Buone Feste
Maggiore è l'ordine di contatto, più grande sarà l'intervallo di "sovrapposizione"[nota]sovrapporsi non significa matematicamente niente. la sovrapposizione dei grafici infatti dipende dal "livello di zoom" e l'unico contatto vero e proprio si ha nel punto $x_0$[/nota] dei due grafici.
Intuitivamente la puoi vedere così: $f(x_0) = g(x_0)$ significa che le funzioni in quel punto si toccano, ma, senza altre informazioni, spostandoci di un pochino da $x_0$ potrebbero essere molto diverse tra loro (i grafici localmente potrebbero addirittura essere ortogonali!).
Specificando $f'(x_0) = g'(x_0)$ la cosa migliora. In quel punto i due grafici devono avere necessariamente la stessa retta tangente. Con la derivata seconda ci assicuriamo che pure la concavità sia la stessa, e quindi o sono entrambe concave o entrambe convesse.
Capisci bene, quindi, che possiamo continuare con questo ragionamento e, maggiore sarà l'ordine di contatto, maggiore sarà l'intorno di $x_0$ in cui i grafici si "sovrappongono".
Spero di averti un pochino aiutato a capire, altrimenti non farti problemi a chiedere.
Buone Feste
Grazie per la risposta molto esaudiente !
Da quello che ho potuto intuire l'idea principale di taylor è di aver stabilito una correlazione precisa tra i coefficienti e le derivate della funzione f, esprimendo i coefficienti per mezzo della funzione f e delle sue derivate;
Es: la funzione(polinomio) $f(x)=x^2-x+1/2$ può essere scritta nella forma equivalente $f(x)=(f''(0))/2x^2-f'(0)x+f(0)$, ed
in generale $f(x)=f(0)+f'(0)x+(f''(0))/2x^2+ (f'''(0))/(3!)x^3+....(f^n(0))/(n!)x^n$, essendo un polinomio di grado $n$ derivabile $n$ volte.
Ora la domanda che mi sono posto è la seguente:
chi mi dice che una generica funzione $f(x)$ coincida sempre con il suo polinomio di taylor?
Se considero la seguente funzione definita e derivabile per ogni $x in R$, che vale, $f(x)=x-x^2$ per $x<=1/2$, ed $f(x)=x^2-x+1/2$ per $x>=1/2$, essendo che $f(0)=0$, $f'(0)=1$, $f''(0)=-2$, il polinomio di taylor risulterebbe $f(x)=0+f'(0)x+(f''(0))x^2/2=x-x^2$, e non coinciderebbe con la funzione considerata, mi sbaglio?
Se considero ad esempio la funzione $sinx$, derivabile in tutto $R$,indefinitivamente, conoscendo facilmente i valori che assumono le derivate successive nel punto $x=0$, posso costruire il polinomio di taylor $sinx=x-x^3/(3!)+x^5/(5!)-x^7/(7!)+...$, chi mi dice che tale polinomio coincida proprio con la funzione considerata $sinx$?
Da quello che ho potuto intuire l'idea principale di taylor è di aver stabilito una correlazione precisa tra i coefficienti e le derivate della funzione f, esprimendo i coefficienti per mezzo della funzione f e delle sue derivate;
Es: la funzione(polinomio) $f(x)=x^2-x+1/2$ può essere scritta nella forma equivalente $f(x)=(f''(0))/2x^2-f'(0)x+f(0)$, ed
in generale $f(x)=f(0)+f'(0)x+(f''(0))/2x^2+ (f'''(0))/(3!)x^3+....(f^n(0))/(n!)x^n$, essendo un polinomio di grado $n$ derivabile $n$ volte.
Ora la domanda che mi sono posto è la seguente:
chi mi dice che una generica funzione $f(x)$ coincida sempre con il suo polinomio di taylor?
Se considero la seguente funzione definita e derivabile per ogni $x in R$, che vale, $f(x)=x-x^2$ per $x<=1/2$, ed $f(x)=x^2-x+1/2$ per $x>=1/2$, essendo che $f(0)=0$, $f'(0)=1$, $f''(0)=-2$, il polinomio di taylor risulterebbe $f(x)=0+f'(0)x+(f''(0))x^2/2=x-x^2$, e non coinciderebbe con la funzione considerata, mi sbaglio?
Se considero ad esempio la funzione $sinx$, derivabile in tutto $R$,indefinitivamente, conoscendo facilmente i valori che assumono le derivate successive nel punto $x=0$, posso costruire il polinomio di taylor $sinx=x-x^3/(3!)+x^5/(5!)-x^7/(7!)+...$, chi mi dice che tale polinomio coincida proprio con la funzione considerata $sinx$?
Innanzi tutto ti consiglio, se non l'hai già fatto, di dare un occhio ad un testo di Analisi (serio!) e studiare con attenzione la costruzione del polinomio di Taylor.
Provo a rispondere alle domande.
Nessuno. Quello che hai scritto, così com'è, è falso.
Lo sviluppo di Taylor in un punto $x$ ha un carattere puramente locale. Quindi, a meno che la funzione non sia un polinomio (i quali ovviamente, come hai scritto sopra, coincidono con il proprio sviluppo di Taylor in $0$[nota]Ovvero lo sviluppo di Mac Laurin![/nota]), essa non coinciderà con il proprio sviluppo di Taylor. Almeno non globalmente. Però, in un intorno del punto in cui si calcola lo sviluppo, la funzione sarà ben approssimata dal suo polinomio di Taylor.
Uno potrebbe chiedersi: che vuol dire "ben approssimata"? La risposta è da cercare nella formula con resto di Lagrange.
Il tutto potrà esserti più chiaro dopo aver studiato le dimostrazioni dei teoremi in questiona da un buon testo.
Ripeto, la formula di Taylor vale localmente ma non globalmente. Nell'esempio da te citato tu stai calcolando la formula di Taylor nel punto $x=0$ e, dato che $0 <= 1/2$, è naturale che il polinomio di Taylor sia uguale a $x - x^2$ che è appunto l'espressione della tua funzione per $x <= 1/2$.
Anche qui vale lo stesso di prima.
Potresti tuttavia avere più risposte studiando le serie di potenze. Se stai seguendo Analisi 1 è possibile che le vedrete.
Provo a rispondere alle domande.
"francicko":
chi mi dice che una generica funzione $f(x)$ coincida sempre con il suo polinomio di taylor?
Nessuno. Quello che hai scritto, così com'è, è falso.
Lo sviluppo di Taylor in un punto $x$ ha un carattere puramente locale. Quindi, a meno che la funzione non sia un polinomio (i quali ovviamente, come hai scritto sopra, coincidono con il proprio sviluppo di Taylor in $0$[nota]Ovvero lo sviluppo di Mac Laurin![/nota]), essa non coinciderà con il proprio sviluppo di Taylor. Almeno non globalmente. Però, in un intorno del punto in cui si calcola lo sviluppo, la funzione sarà ben approssimata dal suo polinomio di Taylor.
Uno potrebbe chiedersi: che vuol dire "ben approssimata"? La risposta è da cercare nella formula con resto di Lagrange.
Il tutto potrà esserti più chiaro dopo aver studiato le dimostrazioni dei teoremi in questiona da un buon testo.
"francicko":
Se considero la seguente funzione definita e derivabile per ogni $x in R$, che vale, $f(x)=x-x^2$ per $x<=1/2$, ed $f(x)=x^2-x+1/2$ per $x>=1/2$, essendo che $f(0)=0$, $f'(0)=1$, $f''(0)=-2$, il polinomio di taylor risulterebbe $f(x)=0+f'(0)x+(f''(0))x^2/2=x-x^2$, e non coinciderebbe con la funzione considerata, mi sbaglio?
Ripeto, la formula di Taylor vale localmente ma non globalmente. Nell'esempio da te citato tu stai calcolando la formula di Taylor nel punto $x=0$ e, dato che $0 <= 1/2$, è naturale che il polinomio di Taylor sia uguale a $x - x^2$ che è appunto l'espressione della tua funzione per $x <= 1/2$.
"francicko":
...posso costruire il polinomio di taylor $sinx=x-x^3/(3!)+x^5/(5!)-x^7/(7!)+...$, chi mi dice che tale polinomio coincida proprio con la funzione considerata $sinx$?
Anche qui vale lo stesso di prima.
Potresti tuttavia avere più risposte studiando le serie di potenze. Se stai seguendo Analisi 1 è possibile che le vedrete.
x@Emar. Ora che credo di avere le idee un pò più chiare sull'argomento, secondo me però il motivo per cui la funzione $f(x)=x-x^2$ per $x<=1/2$ ed $f(x)=x^2-x+1/2$ per $x>=1/2$ non coincide con lo sviluppo in serie di taylor nel punto $0$, sta nel fatto che la funzione in questione non è indefinitivamente derivabile per ogni $x$ $inR$ quindi manca un ipotesi fondamentale, infatti nel punto $x=1/2$, tale funzione non risulta indefinitivamente derivabile, pertanto siamo nell'impossibilità di iterare il teorema di lagrange, in fin dei conti la serie di taylor non è altro che un estensione del teorema di lagrange;
Se prendessi in considerazione un intorno di definizione di $f(x)$ ,dell'origine $x=0$ ,che non contenga il punto $x=1/2$ allora sì che in questo caso la funzione $f(x)=x-x^2$ per $x<=1/2$ coinciderebbe con lo sviluppo in serie di taylor nell'origine (Mc Laurin), infatti risulterebbe indefinitivamente derivabile nell' intorno dell'origine considerato, nel caso della funzione $sinx$ essa risulta derivabile indefinitivamente in tutto $R$ in particolare siamo in grado di calcolare facilmente le derivate successive nell'origine $x=0$ , inoltre si ha che $|D^n(sinx)|<=1$ quindi il resto $R_n$ tende a zero per $n$ tendente ad infinito , quindi è sviluppabile in serie di Mc laurin;
sono sbagliate le considerazioni da me riportate?
Se prendessi in considerazione un intorno di definizione di $f(x)$ ,dell'origine $x=0$ ,che non contenga il punto $x=1/2$ allora sì che in questo caso la funzione $f(x)=x-x^2$ per $x<=1/2$ coinciderebbe con lo sviluppo in serie di taylor nell'origine (Mc Laurin), infatti risulterebbe indefinitivamente derivabile nell' intorno dell'origine considerato, nel caso della funzione $sinx$ essa risulta derivabile indefinitivamente in tutto $R$ in particolare siamo in grado di calcolare facilmente le derivate successive nell'origine $x=0$ , inoltre si ha che $|D^n(sinx)|<=1$ quindi il resto $R_n$ tende a zero per $n$ tendente ad infinito , quindi è sviluppabile in serie di Mc laurin;
sono sbagliate le considerazioni da me riportate?
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