Storia del concetto di continuità
Oltre a varie cose che sto leggendo e di cui ho parlato in altri topic, ultimamente mi è sorta la curiosità verso la storia che sta dietro alle varie definizioni/risultati della matematica. Una delle domande è a chi si devono tutte le definizioni di continuità. Le definizioni a cui faccio riferimento sono: l'epsilon-delta, quella che usa il concetto di limite di una successione, quella che usa gli intorni, e la definizioni tipica della topologia (la controimmagine di un aperto è ancora un aperto).
Facendo delle ricerche ho visto che la prima delle definizioni da alcuni è attribuita a Cauchy, da altri a Weiestrass, mentre sulle altre definizioni non ho trovato nulla. A qualcuno dispiacerebbe togliermi questo dubbio?
p.s:esistono dei libri (tradotti in italiano) che trattano la storia di un preciso ambito della matematica, compreso come si è arrivati a dare le definizioni attuali?
Facendo delle ricerche ho visto che la prima delle definizioni da alcuni è attribuita a Cauchy, da altri a Weiestrass, mentre sulle altre definizioni non ho trovato nulla. A qualcuno dispiacerebbe togliermi questo dubbio?
p.s:esistono dei libri (tradotti in italiano) che trattano la storia di un preciso ambito della matematica, compreso come si è arrivati a dare le definizioni attuali?
Risposte
Di niente. (Dammi del tu, si usa così sul forum 
).
Se non hai fretta posso mandarti una foto della pagina, però quando torno a Roma, ora sono fuori e non ho il libro.
Dovrei tornare verso la fine tornare la settimana prossima.
). Se non hai fretta posso mandarti una foto della pagina, però quando torno a Roma, ora sono fuori e non ho il libro.
Dovrei tornare verso la fine tornare la settimana prossima.
Va benissimo Gabriella, io devo consegnare la tesi attorno al 16 Settembre, quindi dovrei avere tempo. Nel frattempo, settimana prossima (alla riapertura del Dipartimento) vado a prendere il libro del Bottazzini.
Grazie mille, gentilissima!
Grazie mille, gentilissima!
Perfetto.Allora ci sentiamo la settimana prossima, appena possibile ti mando la copia delle pagine che ti interessano, e caso mai della copertina del libro, così il professore vede che libro è.
A presto.
A presto.
Beh, dai, accorciamo un po' i tempi … 
Oppalà, grazie mille! Mi sarà utilissima. Oltre alla data, Hairer cita anche il titolo del libro di Weierstrass? Perché non so se sia "Einleitung in die theorie der analytischen Funktionen" o semplicemente "Theorie der analytischen Funktionen"
Che io ricordi, anche perché avevo scritto così nel mio primo post, Hairer dice ' Teoria delle funzioni analitiche', ma non ho il libro per controllare. Non so se ce l'ha axpgn.
Nelle "References" del libro di Hairer vengono citati questi libri di Weierstrass
Sicuramente è quello che ho evidenziato in giallo
Sicuramente è quello che ho evidenziato in giallo
Sicuro è quello, è quello che ricordavo.
Altra domanda: sapreste dirmi a chi è dovuta la prima definizione di continuità che utilizza la notazione dei limiti?
Ciao Giovanni. Per la verità non so chi ha per primo utilizzato i limiti nella definizione di continuità.
Però, quella con i limiti è solo una notazione per sintetizzare la definizione $epsilon$-$delta$ nel caso il punto considerato sia un punto di accumulazione, e non ha una valenza teorica autonoma: non mi sembra così importante.
La definizione $epsilon$-$delta$ è la esplicitazione della notazione con i limiti, e le due definizioni sono la stessa cosa se il punto è di accumulazione.
La differenza è che, con la definizione $epsilon$-$delta$, si possono considerare anche punti non di accumulazione, nei punti isolati una funzione è continua per definizione, così come è continua una funzione definita in un solo punto.
L'avanzamento teorico è nella definizione di punto di accumulazione, non nella notazione con i limiti.
Chi ha scritto per primo $lim$ nella definizione di continuità? Poiché la nozione di punto di accumulazione è stata introdotta da Cantor e Weierstrass, è possibile che loro abbiamo usato la notazione $lim$, boh?
Certo anche Cauchy scriveva $lim$, ad esempio nel Cours d'analyse o nelle Lecons sur le calcul différentiel,
ma di certo non per la nozione di continuità. Cosa che peraltro non avrebbe potuto fare, poiché è da ricordare che Cauchy non ha mai definito la continuità in un punto, ma solo in un intervallo.
Insomma, ripeto, chi ha scritto per primo $lim$ nella definizione di continuità non mi sembra così interessante, ma è solo la mia opinione.
Però, quella con i limiti è solo una notazione per sintetizzare la definizione $epsilon$-$delta$ nel caso il punto considerato sia un punto di accumulazione, e non ha una valenza teorica autonoma: non mi sembra così importante.
La definizione $epsilon$-$delta$ è la esplicitazione della notazione con i limiti, e le due definizioni sono la stessa cosa se il punto è di accumulazione.
La differenza è che, con la definizione $epsilon$-$delta$, si possono considerare anche punti non di accumulazione, nei punti isolati una funzione è continua per definizione, così come è continua una funzione definita in un solo punto.
L'avanzamento teorico è nella definizione di punto di accumulazione, non nella notazione con i limiti.
Chi ha scritto per primo $lim$ nella definizione di continuità? Poiché la nozione di punto di accumulazione è stata introdotta da Cantor e Weierstrass, è possibile che loro abbiamo usato la notazione $lim$, boh?
Certo anche Cauchy scriveva $lim$, ad esempio nel Cours d'analyse o nelle Lecons sur le calcul différentiel,
ma di certo non per la nozione di continuità. Cosa che peraltro non avrebbe potuto fare, poiché è da ricordare che Cauchy non ha mai definito la continuità in un punto, ma solo in un intervallo.
Insomma, ripeto, chi ha scritto per primo $lim$ nella definizione di continuità non mi sembra così interessante, ma è solo la mia opinione.
Ciao Gabriella, sono d'accordissimo. Una domanda nascosta nella mia domanda era infatti chiedere una vostra opinione su questa questione, sulla quale mi hai saputo tranquillizzare come speravo.
In ogni caso, ho trovato una tesi sulla storia del limite che scrive: "All'inizio del Novecento infine ritroveremo, grazie alla sempre più netta distinzione fra scuole di
pensiero formaliste o meno, la definizione di limite come oggi cerchiamo di farla imparare ai nostri
studenti, cioè formalizzata al massimo con la notazione ε-δ che già era stata introdotta da
Weierstrass ed Heine, e che trova la sua attuale e definitiva definizione in un articolo apparso nel
1922 sul American Journal of Mathematics intitolato appunto A General Theory of Limits, scritto
da E.H.Moore e H.L .Smith: in questo si legge la definizione e la notazione di limite come oggi ci è
propria"
Ti ringrazio molto di nuovo!
In ogni caso, ho trovato una tesi sulla storia del limite che scrive: "All'inizio del Novecento infine ritroveremo, grazie alla sempre più netta distinzione fra scuole di
pensiero formaliste o meno, la definizione di limite come oggi cerchiamo di farla imparare ai nostri
studenti, cioè formalizzata al massimo con la notazione ε-δ che già era stata introdotta da
Weierstrass ed Heine, e che trova la sua attuale e definitiva definizione in un articolo apparso nel
1922 sul American Journal of Mathematics intitolato appunto A General Theory of Limits, scritto
da E.H.Moore e H.L .Smith: in questo si legge la definizione e la notazione di limite come oggi ci è
propria"
Ti ringrazio molto di nuovo!
Grazie a te Giovanni. Sono contenta che sei d'accordo. E grazie per l'indicazione dell'articolo del 1922, che cercherò di leggere appena possibile.
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