Storia del concetto di continuità
Oltre a varie cose che sto leggendo e di cui ho parlato in altri topic, ultimamente mi è sorta la curiosità verso la storia che sta dietro alle varie definizioni/risultati della matematica. Una delle domande è a chi si devono tutte le definizioni di continuità. Le definizioni a cui faccio riferimento sono: l'epsilon-delta, quella che usa il concetto di limite di una successione, quella che usa gli intorni, e la definizioni tipica della topologia (la controimmagine di un aperto è ancora un aperto).
Facendo delle ricerche ho visto che la prima delle definizioni da alcuni è attribuita a Cauchy, da altri a Weiestrass, mentre sulle altre definizioni non ho trovato nulla. A qualcuno dispiacerebbe togliermi questo dubbio?
p.s:esistono dei libri (tradotti in italiano) che trattano la storia di un preciso ambito della matematica, compreso come si è arrivati a dare le definizioni attuali?
Facendo delle ricerche ho visto che la prima delle definizioni da alcuni è attribuita a Cauchy, da altri a Weiestrass, mentre sulle altre definizioni non ho trovato nulla. A qualcuno dispiacerebbe togliermi questo dubbio?
p.s:esistono dei libri (tradotti in italiano) che trattano la storia di un preciso ambito della matematica, compreso come si è arrivati a dare le definizioni attuali?
Risposte
Per sapere, questa è la sezione giusta per questa domanda?
Seguo, af.
Non è una questione che si può liquidare in fretta, serve un po’ di tempo (che non ho ora) per rispondere in maniera sensata, senza citare polpettoni già fatti da altri o dire “studialo da te”.
Se vuoi aspettare, rispondo tra qualche giorno.
Se vuoi aspettare, rispondo tra qualche giorno.
@gugo82:ok, scusa non volevo mettere fretta, volevo solo essere sicuro della sezione, perché la domanda includeva domande sulla continuità (quindi forse doveva andare in analisi e/o topologia), inoltre chiedevo l'esistenza di un libro (quindi forse la sezione giusta è "Leggiti questo!"), oppure dato che tratta più cose la sezione poteva essare "generale". Dalla tua risposta deduco che la sezione è corretta.
Non so se è un polpettone, al massimo una polpetta (ma le polpette mi vengono bene). 
(comunque la polpetta è mia, non è polpetta copiata da altri).
Tanto per dare una prima risposta. La storia del concetto di continuità nell'ottocento è intricata.
Il concetto di continuità come lo conosciamo noi adesso è spesso attribuito a Cauchy.
Nel capitolo II del suo 'Course d'analyse' (1821) Cauchy dà la definizione di funzione continua:
se$ f(x)$ è una funzione della variabile $x$, e tra due 'limiti' dati di $x$ (cioè in un intervallo di $x$) questa funzione ammette sempre un valore 'unico e finito', allora
"...la funzione $f(x)$ sarà, tra i due limiti assegnati alla variabile $x$, funzione continua di questa variabile, se per ogni valore di $x$ tra questi due limiti il valore numerico della differenza
$f(x+alpha) - f(x)$
decresce indefinitamente con quello di $alpha$. In altri termini, la funzione f(x) sarà continua in rapporto ai limiti dati, se, tra questi limiti, un incremento infinitamente piccolo della variabile produce un incremento infinitamente piccolo della funzione stessa" (il corsivo è di Cauchy).[nota]A.L. Cauchy, Cours D'analyse De L'école Royale Polytecnique (1821) p.34. La traduzione dal francese è mia, se non vi fidate vi metto il testo in francese[/nota]
Si può notare riguardo a questa definizione che
-definendo la continuità Cauchy usa le 'quantità infinitamente piccole' , che ha precedentemente definito come "le quantità il cui valore numerico decresce indefinitamente in modo da convergere verso il limite 0"[nota]Ibid., p. 26[/nota].
- non usa dunque la formulazione formale con epsilon e delta.
Per questi motivi la definizione formale attuale di continuità viene spesso attribuita a Weiestrass.
Weiestrass definisce la continuità di una funzione in un punto $x_0$ nel seguente modo, nel suo 'Teoria della Funzioni analitiche' (1874):
"Qui diciamo che una quantità $y$ è una funzione continua di $x$, se dopo aver scelto una quantita $epsilon$ può essere dimostrata l'esistenza di un $delta$ , tale che per ogni valore tra $x_0-delta$... $x_0+delta$ il corrispondente valore di $y$ giace tra $y_0 -epsilon$ ...$y_o +epsilon$".
La definizione per successioni della continuità è invece attribuita a Heine, così come la nozione di continuità uniforme.
(comunque la polpetta è mia, non è polpetta copiata da altri).
Tanto per dare una prima risposta. La storia del concetto di continuità nell'ottocento è intricata.
Il concetto di continuità come lo conosciamo noi adesso è spesso attribuito a Cauchy.
Nel capitolo II del suo 'Course d'analyse' (1821) Cauchy dà la definizione di funzione continua:
se$ f(x)$ è una funzione della variabile $x$, e tra due 'limiti' dati di $x$ (cioè in un intervallo di $x$) questa funzione ammette sempre un valore 'unico e finito', allora
"...la funzione $f(x)$ sarà, tra i due limiti assegnati alla variabile $x$, funzione continua di questa variabile, se per ogni valore di $x$ tra questi due limiti il valore numerico della differenza
$f(x+alpha) - f(x)$
decresce indefinitamente con quello di $alpha$. In altri termini, la funzione f(x) sarà continua in rapporto ai limiti dati, se, tra questi limiti, un incremento infinitamente piccolo della variabile produce un incremento infinitamente piccolo della funzione stessa" (il corsivo è di Cauchy).[nota]A.L. Cauchy, Cours D'analyse De L'école Royale Polytecnique (1821) p.34. La traduzione dal francese è mia, se non vi fidate vi metto il testo in francese
[/nota]Si può notare riguardo a questa definizione che
-definendo la continuità Cauchy usa le 'quantità infinitamente piccole' , che ha precedentemente definito come "le quantità il cui valore numerico decresce indefinitamente in modo da convergere verso il limite 0"[nota]Ibid., p. 26[/nota].
- non usa dunque la formulazione formale con epsilon e delta.
Per questi motivi la definizione formale attuale di continuità viene spesso attribuita a Weiestrass.
Weiestrass definisce la continuità di una funzione in un punto $x_0$ nel seguente modo, nel suo 'Teoria della Funzioni analitiche' (1874):
"Qui diciamo che una quantità $y$ è una funzione continua di $x$, se dopo aver scelto una quantita $epsilon$ può essere dimostrata l'esistenza di un $delta$ , tale che per ogni valore tra $x_0-delta$... $x_0+delta$ il corrispondente valore di $y$ giace tra $y_0 -epsilon$ ...$y_o +epsilon$".
La definizione per successioni della continuità è invece attribuita a Heine, così come la nozione di continuità uniforme.
Grazie per aver risposto.
Comunque come libri in italiano di storia della matematica ci sono due noti libri di Umberto Bottazzini Il calcolo sublime, che è una storia dell'analisi matematica, e Il flauto di Hilbert, che però non tratta un ambito specifico, è una storia della matematica più generale.
Poi un classico è Elementi di storia della matematica di Bourbaki, che è diviso per argomenti, tipo: 'algebra lineare', ''calcolo infinitesimale', 'spazi vettoriali topologici' etc.
Poi un classico è Elementi di storia della matematica di Bourbaki, che è diviso per argomenti, tipo: 'algebra lineare', ''calcolo infinitesimale', 'spazi vettoriali topologici' etc.
Sennò c'è anche "Piccola storia del calcolo infinitesimale dall'antichità al Novecento“, del Giusti.
P. S. Non l'ho letto, quindi non garantisco sia ben scritto, ma da come ne parlano sembra di sì.
P. S. Non l'ho letto, quindi non garantisco sia ben scritto, ma da come ne parlano sembra di sì.
Grazie per i libri che avete consigliato.
Grazie a te per avere introdotto un argomento interessante.
Per essere sicuro, la definizione di continuità che si usa in topologia la si deve a Poincarè?
La caratterizzazione delle funzioni continue in termini di intorni e aperti è attribuita a Hausdorff.
E' in Haussdorff, Grundzuge der Mengenlehere, 1914, p. 36 il teorema:
" Per una funzione $ f:R^nrarr R^m$ sono equivalenti le tre seguenti affermazioni:
i) $f$ è continua su $R^n$;
ii) per ogni insieme aperto $ Vsub R^m $ l'insieme $f^-1(V)$ è aperto in $R^n$;
iii) per ogni insieme chiuso $FsubR^m$, l'insieme $f^-1(F)$ è chiuso in $R^n$" [nota]V. Hairer W., Wanner E., Analysis by its History, Springer, 2008, p. 295[/nota]
Se poi l'abbia fatta pure Poincaré per conto suo non lo so.
Non mi sembra di averne vista traccia, ma a uno sguardo rapido.
E' in Haussdorff, Grundzuge der Mengenlehere, 1914, p. 36 il teorema:
" Per una funzione $ f:R^nrarr R^m$ sono equivalenti le tre seguenti affermazioni:
i) $f$ è continua su $R^n$;
ii) per ogni insieme aperto $ Vsub R^m $ l'insieme $f^-1(V)$ è aperto in $R^n$;
iii) per ogni insieme chiuso $FsubR^m$, l'insieme $f^-1(F)$ è chiuso in $R^n$" [nota]V. Hairer W., Wanner E., Analysis by its History, Springer, 2008, p. 295[/nota]
Se poi l'abbia fatta pure Poincaré per conto suo non lo so.
Non mi sembra di averne vista traccia, ma a uno sguardo rapido.
Io avevo trovato questo (mi ero dimenticato di segnalarlo). Devo ancora leggerlo; forse l'avevo visto anche o proprio qui sul forum, boh. (C'è su Sci-Hub).
Grazie, Marco, del link, appena posso lo leggo.
Quanto a Poincaré sicuramente è uno degli iniziatori della topologia, in particolare della topologia algebrica, con il suo lavoro 'Analysis situs'. Ma non so se parla di definizione di continuità, non è che l'ho letto, ho guardato l'indice e non mi sembra che ne parli, ma è solo a un primo sguardo.
Forse mkiplo può dirci se ha trovato una fonte che dice che la definizione di funzione continua tramite intorni o tramite le controimmagini è presente in Poincaré.
Quanto a Poincaré sicuramente è uno degli iniziatori della topologia, in particolare della topologia algebrica, con il suo lavoro 'Analysis situs'. Ma non so se parla di definizione di continuità, non è che l'ho letto, ho guardato l'indice e non mi sembra che ne parli, ma è solo a un primo sguardo.
Forse mkiplo può dirci se ha trovato una fonte che dice che la definizione di funzione continua tramite intorni o tramite le controimmagini è presente in Poincaré.
Grazie nuovamente per le risposte.
Per quanto riguarda Poincaré era solo un'ipotesi (molto probabilmente sbagliata), dovuta al fatto che Poincaré avesse iniziato molti studi in topologia.
Per quanto riguarda Poincaré era solo un'ipotesi (molto probabilmente sbagliata), dovuta al fatto che Poincaré avesse iniziato molti studi in topologia.
Salve Gabriella, volevo chiederle dove fosse possibile reperire una bibliografia ufficiale per questa affermazione di Weierstrass. Mi serve per la tesi, ma nel web non la trovo.
Grazie mille in anticipo, e complimenti per l'intervento!
Grazie mille in anticipo, e complimenti per l'intervento!
Ciao Giovanni e grazie.
La citazione di Weiestrass, tratta dal suo Teoria delle funzioni analitiche l'ho presa da Hairer, Analysis by its History. Non è proprio un libro di storia dell'analisi, ma un libro di analisi con riferimenti storici.
Se ti interessa qualche altro riferimento dimmelo, se posso aiutarti, ora non so che dirti perché non so cosa ti interessa per la tesi.
La citazione di Weiestrass, tratta dal suo Teoria delle funzioni analitiche l'ho presa da Hairer, Analysis by its History. Non è proprio un libro di storia dell'analisi, ma un libro di analisi con riferimenti storici.
Se ti interessa qualche altro riferimento dimmelo, se posso aiutarti, ora non so che dirti perché non so cosa ti interessa per la tesi.
Salve Gabriella, mi spiego meglio. Leggendo la sua risposta in cui ha citato Cauchy e Weierstrass, sono poi andato a cercare il libro di Cauchy che, fortunatamente, si può leggere tutto online. Così, nella mia tesi (in cui c'è un breve capitolo dedicato alla storia della continuità), ho messo nella bibliografia proprio il testo di Cauchy. Per quanto riguarda Weierstrass, invece, ieri ho cercato il testo Teoria delle funzioni analitiche per avere un riferimento bibliografico dettagliato (proprio come sono riuscito a fare con Cauchy) ma non sono proprio riuscito a trovarlo sul web. La ringrazio molto per la segnalazione del libro di Hairer, ma purtroppo nella mia biblioteca universitaria non c'è nemmeno...
Salve Giovanni, di Weierstrass, a quel che mi risuta, non ci sono traduzioni, quindi bisogna per forza riferirsi al testo in tedesco, se cerchi 'Weierstrass' su Amazon trovi i suoi libri ma tutti in tedesco.
Al massimo si può vedere se non c'è qualche passo tradotto in altri libri o antologie, se non leggi il tedesco.
Prova a guardare in Bottazzini, Il calcolo sublime, purtroppo non posso ora aiutarti perché sono fuori e non ho libri a disposizione.
Al massimo si può vedere se non c'è qualche passo tradotto in altri libri o antologie, se non leggi il tedesco.
Prova a guardare in Bottazzini, Il calcolo sublime, purtroppo non posso ora aiutarti perché sono fuori e non ho libri a disposizione.
Ancora grazie mille Gabriella. Sì, effettivamente su Amazon c'è "Einleitung in die Theorie der analytischen Funktionen", però costa circa 60€ (il gioco non vale la candela). Mi rimane da chiederle: lei è in possesso del libro di Harier da cui ha riportato la citazione di Weierstrass? In caso affermativo, potrebbe mandarmi una foto della pagina (così da poterla mostrare al mio relatore e tranquillizzarlo sulla bibliografia effettiva)?
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