Piramidi, coni, etc.

[mircoFN1]

Qualcuno conosce una dimostrazione rigorosa ma elementare e intiutiva (diciamo adatta a una classe delle medie inferiori) che giustifichi il fattore $1/3$ nel volume di coni e piramidi ?

grazie

[Sk_Anonymous]

Piramide: supponiamo di avere una piramide ed un parallelepipedo rettangolo con basi ed altezze congruenti. Se si provasse a riempire la piramide di una qualsiasi sostanza e se si travasasse nel parallelepipedo, ci si renderebbe conto che, ripetendo 3 volte questa operazione, si otterrebbe esattamente il riempimento del parallelepipedo.Questo sta ad indicare che il volume della piramide corrisponde ad $1/3$ del volume del prisma con base ed altezza congruenti rispettivamente alla base e all'altezza della piramide -> $ V=(Ab*h)/3.

Cono: Costruisci con un cartoncino un cilindro ed un cono aventi uguale base e uguale altezza; riempi il cono co sabbia sottile e travasalo nel cilindro. Ti renderai conto che devi ripetere l'operazione 3 volte per riempire il cilindro. Pertanto: un cono è equivalente alla terza parte di un cilindro avente uguale base e uguale altezza.

ciao

[mircoFN1]

Forse non mi sono spiegato: non intendevo una 'dimostrazione' empirica ma geometrica!

[Sk_Anonymous]

un cono è equivalente alla terza parte di un cilindro avente uguale base e uguale altezza.
il volume della piramide corrisponde ad 1/3 del volume del prisma con base ed altezza congruenti rispettivamente alla base e all'altezza della piramide


penso che questa sia l'unica spiegazione.

[mircoFN1]

"ENEA84":un cono è equivalente alla terza parte di un cilindro avente uguale base e uguale altezza.
il volume della piramide corrisponde ad 1/3 del volume del prisma con base ed altezza congruenti rispettivamente alla base e all'altezza della piramide
penso che questa sia l'unica spiegazione.

Va bene come atto di fede, la considero una pessima spiegazione (dal punto di vista didattico) e in ogni caso non è una dimostrazione!

[Giusepperoma2]

considera un parallelepipedo retto. congiungi un vertice di una base con i vertici della base opposta (costruendo cosi' una piramide retta). Dovrebbe essere facile osservare che in un parallelogramma retto entrerebbero tre piramidi rette.

A questo punto basta osservare che rapporto fra volumi e' invariante per affinita' per avere che la formula e' valida per tutte le piramidi.

scusa so di non essere stato chiarissimo, ma sto di corsa....

per il cono, basta passarlo suddiviso in infinite piramidi di base infinitesima

[Sk_Anonymous]

"mirco59":
Va bene come atto di fede, la considero una pessima spiegazione (dal punto di vista didattico) e in ogni caso non è una dimostrazione!

Punto1) A parte che dalle mie affermazioni si può dedurre una semplicissima dimostrazione.
Punto2) Manda una lettera di protesta a Gemma Colosio-Teresita Giliani Editrice La Scuola,vale a dire alle autrici del libro di testo per scuola media da cui ho copiato le "pessime spiegazioni".



ciao

[mircoFN1]

"Giusepperoma":considera un parallelepipedo retto. congiungi un vertice di una base con i vertici della base opposta (costruendo cosi' una piramide retta). Dovrebbe essere facile osservare che in un parallelogramma retto entrerebbero tre piramidi rette.

Ti ringrazio del consiglio, ma non mi sembra molto facile da spiegare. Inoltre, non sono convinto che un prisma possa essere 'semplicemente' costruito con tre piramidi aventi la stessa forma.

Vi posto la mia 'dimostrazione' anche se vorrei trovarne una ancora più semplice.
Si basa sulla possibilità di trovare il volume di una particolare piramide e poi generalizzare.

Consideriamo un cubo di spigolo $a$ e di centro $C$, esso è scomponibile in 6 piramidi uguali aventi vertice comune in $C$ base una delle faccie del cubo di superficie $S=a^2$, e altezza $h=a/2$. Il volume di ognuna è $a^3/6$ da cui la formula $V=1/3Sh$.
Poi è necessario estendere la formula al caso della base di forma qualunque (ma questo lo ha già fatto Cavalieri) e, analogamente, anche al caso di piramidi non rette.

[mircoFN1]

"ENEA84":
Punto1) A parte che dalle mie affermazioni si può dedurre una semplicissima dimostrazione.
Punto2) Manda una lettera di protesta a Gemma Colosio-Teresita Giliani Editrice La Scuola,vale a dire alle autrici del libro di testo per scuola media da cui ho copiato le "pessime spiegazioni".
ciao

Caro ENEA

Punto 1) continuo a non cogliere la semplicissima dimostrazione, che non vorrei fosse semplicemente frutto della consuetudine con cui trattiamo le formule elementari di geometria. Tuttavia, non escluso che sia un mio limite: è per questo che ho postato la richiesta. Se pazientemente me lo spieghi ....

Per quanto riguarda il punto 2), la tua è proprio un'ulteriore evidenza a sostegno della mia impressione che la spiegazione rigorosa della formula latita nei libri di scuola! Il fatto che sia stata pubblicata non è purtroppo una garanzia di rigore. I libri di testo sono pieni di schifezze (soprattutto quelli di fisica) e le case editrici sono molto più impegnate nella cura degli aspetti di presentazione grafica (ora anche multimediali) che nella qualità dei contenuti e nella chiarezza espositiva (ho una certa esperienza nel settore). Con il metodo della sabbia si può fare un esperimento, che potrebbe essere anche molto utile e didatticamente istruttivo per le medie inferiori, ma si sta facendo fisica e non geometria. Basta saperlo!

Credo che tutti noi concordiamo sul fatto che esiste una differenza tra una dimostrazione geometrica e una verifica empirica, pensiamo almeno alla questione di come trattare le incertezze della misura.

ciao

[caratheodory]

Enea84 vai un po' a vederti questo link http://www2.polito.it/didattica/polymat ... ramide.htm
E'tutto molto chiaro, inoltre ci sono pure i diesgni fatti col Cabri..
Questa è una dimostrazione rigorosa di quanto viene chiesto ciao

[cavallipurosangue]

In ogni caso caro Mirco, la tua dimostrazione , mi sembra moolto semlice e didattica, Bravo!